Для начала давайте разберемся с тем, что такое правильный четырехугольник, вписанный и описанный около окружности. Правильный четырехугольник - это квадрат. Вписанный квадрат касается окружности по своим сторонам, а описанный - окружность касается его вершин.

Обозначим радиус окружности как R. Периметр вписанного квадрата можно выразить через радиус окружности следующим образом:

• Сторона вписанного квадрата равна R * корень из 2 (это связано с тем, что диагональ квадрата равна диаметру окружности).
• Периметр вписанного квадрата = 4 * (R * корень из 2) = 4R * корень из 2.

Теперь найдем периметр описанного квадрата:

• Сторона описанного квадрата равна 2R.
• Периметр описанного квадрата = 4 * (2R) = 8R.

Теперь у нас есть два периметра:

• Периметр вписанного квадрата = 4R * корень из 2.
• Периметр описанного квадрата = 8R.

Согласно условию задачи, периметр описанного квадрата больше периметра вписанного на 16 * (корень из 2 - 1). Таким образом, мы можем записать уравнение:

Теперь давайте упростим это уравнение:

1. Соберем все R в одну часть: 8R - 4R * корень из 2 = 16 * корень из 2 - 16.
2. Вынесем R за скобки: R * (8 - 4 * корень из 2) = 16 * (корень из 2 - 1).
3. Теперь выразим R: R = 16 * (корень из 2 - 1) / (8 - 4 * корень из 2).

Упростим дробь:

• R = 16 * (корень из 2 - 1) / (4 * (2 - корень из 2)).
• R = 4 * (корень из 2 - 1) / (2 - корень из 2).

Теперь мы можем подставить значения и вычислить радиус R. Если вам нужно, можете подставить численные значения для корня из 2 и вычислить окончательный ответ.