АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

1. Как доказать, что прямая (x+3)/2=y=z-1 и плоскость x+3y-5z+2=0 являются параллельными, а также как посчитать расстояние между ними?
2. Как найти расстояние от точки D(3, 4, 5) до прямой L, если L задается системой из двух уравнений:
   • 1 уравнение: x+y-z=0
   • 2 уравнение: x-y+z=2

Математика Колледж Аналитическая геометрия параллельные прямые и плоскости расстояние между прямой и плоскостью расстояние от точки до прямой аналитическая геометрия уравнения прямой и плоскости Новый

Доказательство параллельности прямой и плоскости

Чтобы доказать, что прямая и плоскость параллельны, нам нужно выяснить, совпадает ли направление прямой с нормальным вектором плоскости.

Шаг 1: Найдем направляющий вектор прямой

Прямая задана параметрически: (x + 3)/2 = y = z - 1. Давайте выразим x, y и z через параметр t:

• x = 2t - 3
• y = t
• z = t + 1

Таким образом, направляющий вектор прямой L будет равен (2, 1, 1).

Шаг 2: Найдем нормальный вектор плоскости

Плоскость задана уравнением: x + 3y - 5z + 2 = 0. Нормальный вектор плоскости можно получить из коэффициентов при x, y и z в уравнении плоскости. Нормальный вектор N будет равен (1, 3, -5).

Шаг 3: Проверим параллельность

Для того чтобы прямая и плоскость были параллельны, направляющий вектор прямой должен быть перпендикулярен нормальному вектору плоскости. Это можно проверить с помощью скалярного произведения:

Скалярное произведение v и N равно:

• (2, 1, 1) • (1, 3, -5) = 2*1 + 1*3 + 1*(-5) = 2 + 3 - 5 = 0.

Так как скалярное произведение равно 0, мы можем сделать вывод, что прямая и плоскость параллельны.

Шаг 4: Найдем расстояние между прямой и плоскостью

Расстояние d между параллельной прямой и плоскостью можно найти по формуле:

d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2),

где A, B, C - коэффициенты при x, y, z в уравнении плоскости, (x0, y0, z0) - координаты любой точки на прямой, а D - свободный член уравнения плоскости.

Возьмем точку на прямой, например, при t = 0:

• x0 = -3, y0 = 0, z0 = 1.

Подставляем в формулу:

• A = 1, B = 3, C = -5, D = 2.
• d = |1*(-3) + 3*0 + (-5)*1 + 2| / sqrt(1^2 + 3^2 + (-5)^2) = |-3 + 0 - 5 + 2| / sqrt(1 + 9 + 25) = |-6| / sqrt(35) = 6 / sqrt(35).

Таким образом, расстояние между прямой и плоскостью равно 6 / sqrt(35).

Расстояние от точки D до прямой L

Теперь найдем расстояние от точки D(3, 4, 5) до прямой, заданной системой уравнений:

1. x + y - z = 0

2. x - y + z = 2

Шаг 1: Найдем направление прямой

Сначала преобразуем систему уравнений в параметрическую форму. Для этого выразим переменные через одну из них. Например, выразим x и z через y:

• Из первого уравнения: x = z - y.
• Подставим это во второе уравнение: (z - y) - y + z = 2, что дает 2z - 2y = 2, или z - y = 1, откуда z = y + 1.

Теперь подставим z в первое уравнение:

• x = (y + 1) - y = 1.

Таким образом, мы можем записать прямую в параметрической форме:

• x = 1, y = t, z = t + 1.

Направляющий вектор прямой будет равен (0, 1, 1).

Шаг 2: Найдем расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой в пространстве можно найти по формуле:

d = |(P0 - P1) • n| / |n|,

где P0 - точка D(3, 4, 5), P1 - точка на прямой, n - вектор, перпендикулярный направляющему вектору прямой.

Выберем точку на прямой, например, P1(1, 0, 1) (при t = 0).

Вектор P0P1 будет равен (1 - 3, 0 - 4, 1 - 5) = (-2, -4, -4).

Теперь найдем вектор n, перпендикулярный направляющему вектору (0, 1, 1). Например, возьмем (1, 0, 0) как n.

Теперь подставляем в формулу:

• d = |(-2, -4, -4) • (1, 0, 0)| / |(1, 0, 0)| = |-2| / 1 = 2.

Таким образом, расстояние от точки D до прямой L равно 2.