Как можно решить следующую задачу по высшей математике, связанной с элементами векторной алгебры и аналитической геометрии?

Необходимо построить треугольник, вершины которого находятся в точках А(4;5), В(3;-4), С(-3;4) и найти:

1. уравнение стороны АВ;
2. уравнение медианы, проведённой из вершины С;
3. координату точки пересечения медиан;
4. уравнение высоты, опущенной из вершины В на строчку АС и её длину;
5. уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ;
6. площадь треугольника.

Математика Колледж Аналитическая геометрия высшая математика векторная алгебра аналитическая геометрия треугольник уравнение стороны медиана координаты точка пересечения высота треугольника площадь треугольника Новый

Для решения данной задачи по высшей математике, давайте поэтапно разберём каждую из её частей.

1. Уравнение стороны AB:

Сначала найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(4,5) и B(3,-4). Для этого используем формулу для нахождения углового коэффициента (k):

• k = (y2 - y1) / (x2 - x1),
• где (x1, y1) = (4, 5) и (x2, y2) = (3, -4).

Подставляем значения:

• k = (-4 - 5) / (3 - 4) = -9 / -1 = 9.

Теперь можем записать уравнение прямой в общем виде: y - y1 = k(x - x1).

Подставляем значения:

• y - 5 = 9(x - 4).

Упрощаем:

• y - 5 = 9x - 36,
• y = 9x - 31.

Таким образом, уравнение стороны AB: y = 9x - 31.

2. Уравнение медианы, проведённой из вершины C:

Сначала найдем координаты середины отрезка AB. Середина M будет вычисляться по формуле:

• M(x) = (x1 + x2) / 2, M(y) = (y1 + y2) / 2.

Подставляем координаты A и B:

• M = ((4 + 3) / 2, (5 - 4) / 2) = (3.5, 0.5).

Теперь находим угловой коэффициент медианы CM:

• k = (yM - yC) / (xM - xC),
• где (xC, yC) = (-3, 4) и (xM, yM) = (3.5, 0.5).

Подставляем значения:

• k = (0.5 - 4) / (3.5 + 3) = -3.5 / 6.5 = -7 / 13.

Теперь запишем уравнение медианы:

• y - 4 = (-7/13)(x + 3).

Упрощаем:

• y - 4 = (-7/13)x - 21/13,
• y = (-7/13)x + 4 - 21/13 = (-7/13)x + 52/13 - 21/13 = (-7/13)x + 31/13.

Таким образом, уравнение медианы: y = (-7/13)x + 31/13.

3. Координаты точки пересечения медиан:

Для нахождения точки пересечения медиан, решим систему уравнений:

• y = 9x - 31,
• y = (-7/13)x + 31/13.

Приравниваем обе функции:

• 9x - 31 = (-7/13)x + 31/13.

Умножаем всё на 13, чтобы избавиться от дробей:

• 117x - 403 = -7x + 31.

Соберем все x в одну сторону:

• 117x + 7x = 403 + 31,
• 124x = 434,
• x = 434 / 124 = 3.5.

Теперь подставим x в одно из уравнений, например, в y = 9x - 31:

• y = 9(3.5) - 31 = 31.5 - 31 = 0.5.

Таким образом, координаты точки пересечения медиан: (3.5, 0.5).

4. Уравнение высоты из вершины B на сторону AC и её длина:

Сначала найдем уравнение прямой AC. Найдем угловой коэффициент:

• k = (yC - yA) / (xC - xA) = (4 - 5) / (-3 - 4) = -1 / -7 = 1/7.

Уравнение прямой AC:

• y - 5 = (1/7)(x - 4).

Теперь найдем уравнение высоты, проходящей через B(3,-4) и перпендикулярной AC:

• Угловой коэффициент высоты будет равен -1/(1/7) = -7.

Уравнение высоты:

• y + 4 = -7(x - 3).

Упрощаем:

• y + 4 = -7x + 21,
• y = -7x + 17.

Теперь найдем точку пересечения высоты и прямой AC. Решим систему:

• y = -7x + 17,
• y = (1/7)x + 4/7.

Приравниваем:

• -7x + 17 = (1/7)x + 4/7.

Умножим на 7:

• -49x + 119 = x + 4.

Соберем все x:

• -50x = -115,
• x = 115/50 = 2.3.

Теперь подставим x в уравнение высоты:

• y = -7(2.3) + 17 = -16.1 + 17 = 0.9.

Таким образом, точка пересечения высоты и стороны AC: (2.3, 0.9).

Теперь найдем длину высоты. Для этого используем формулу расстояния между точками B(3,-4) и (2.3, 0.9):

• d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²).

Подставляем значения:

• d = √((2.3 - 3)² + (0.9 + 4)²) = √((-0.7)² + (4.9)²) = √(0.49 + 24.01) = √(24.5) ≈ 4.95.

Таким образом, длина высоты: ≈ 4.95.

5. Уравнение прямой, проходящей через точку C параллельно прямой AB:

Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент. Угловой коэффициент AB равен 9. Уравнение прямой через C(-3, 4) будет:

• y - 4 = 9(x + 3).

Упрощаем:

• y - 4 = 9x + 27,
• y = 9x + 31.

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через C: y = 9x + 31.

6. Площадь треугольника:

Площадь треугольника можно найти по формуле:

• Площадь = 1/2 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|.

Подставляем координаты A(4,5), B(3,-4), C(-3,4):

• Площадь = 1/2 * |4(-4 - 4) + 3(4 - 5) + (-3)(5 + 4)|.

Упрощаем:

• Площадь = 1/2 * |4(-8) + 3(-1) - 3(9)| = 1/2 * |-32 - 3 - 27| = 1/2 * |-62| = 31.

Таким образом, площадь треугольника: 31.

В итоге мы нашли все необходимые элементы: уравнение стороны AB, уравнение медианы, координаты точки пересечения медиан, уравнение и длину высоты, уравнение прямой через C и площадь треугольника.