Давайте решим задачу шаг за шагом, начиная с нахождения длины стороны AB.

Для нахождения длины отрезка AB, используем формулу расстояния между двумя точками в двумерном пространстве:

Длина AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

• Координаты точки A: (4, -2)
• Координаты точки B: (6, -4)

Подставим значения:

Длина AB = √((6 - 4)² + (-4 + 2)²) = √(2² + (-2)²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2.

Начнем с нахождения уравнения прямой AB. Уравнение прямой можно записать в виде:

y - y1 = k(x - x1),

где k - угловой коэффициент, который можно найти по формуле:

k = (y2 - y1) / (x2 - x1).

• Для AB: k_AB = (-4 + 2) / (6 - 4) = -2 / 2 = -1.

Теперь подставим в уравнение:

y - (-2) = -1(x - 4) => y + 2 = -x + 4 => y = -x + 2.

Таким образом, уравнение AB: y = -x + 2.

Теперь найдем уравнение BC:

• Координаты точки B: (6, -4)
• Координаты точки C: (-2, 2)

k_BC = (2 + 4) / (-2 - 6) = 6 / -8 = -3/4.

Теперь подставим в уравнение:

y - (-4) = (-3/4)(x - 6) => y + 4 = (-3/4)x + 18/4 => y = (-3/4)x + 18/4 - 16/4 => y = (-3/4)x + 2/4.

Таким образом, уравнение BC: y = (-3/4)x + 1/2.

Высота CD перпендикулярна основанию AB, следовательно, угловой коэффициент высоты k_CD = 1 (перпендикуляр к AB с угловым коэффициентом -1).

Используя координаты точки C (-2, 2),уравнение высоты CD будет:

y - 2 = 1(x + 2) => y = x + 4.

Теперь найдём длину CD. Для этого нужно найти точку D, где высота пересекает сторону AB.

Подставим уравнение высоты в уравнение AB:

x + 4 = -x + 2 => 2x = -2 => x = -1.

Теперь найдем y: y = -(-1) + 2 = 3.

Точка D = (-1, 3).

Теперь найдём длину CD:

Длина CD = √((-1 + 2)² + (3 - 2)²) = √(1 + 1) = √2.

Сначала найдем координаты середины стороны BC. Середина K = ((x_B + x_C)/2, (y_B + y_C)/2) = ((6 - 2)/2, (-4 + 2)/2) = (2, -1).

Теперь найдем угловой коэффициент медианы AE:

k_AE = (y_K - y_A) / (x_K - x_A) = (-1 + 2) / (2 - 4) = 1 / -2 = -1/2.

Уравнение медианы AE будет:

y + 2 = -1/2(x - 4) => y + 2 = -1/2x + 2 => y = -1/2x.

Теперь найдем координаты точки K, где медиана AE пересекается с высотой CD:

Решаем систему уравнений:

• y = x + 4 (CD)
• y = -1/2x (AE)

Подставим y из второго уравнения в первое:

-1/2x = x + 4 => -1/2x - x = 4 => -3/2x = 4 => x = -8/3.

Теперь найдем y:

y = -1/2(-8/3) = 4/3.

Координаты точки K: (-8/3, 4/3).

Параллельная прямая будет иметь тот же угловой коэффициент, что и AB, то есть -1.

Уравнение будет:

y - 4/3 = -1(x + 8/3) => y = -x - 8/3 + 4/3 => y = -x - 4/3.

Для нахождения симметричной точки, нужно провести перпендикуляр из точки A к прямой CD и найти точку пересечения. Затем использовать эту точку для нахождения симметричной точки.

Уравнение CD: y = x + 4.

Уравнение перпендикуляра, проходящего через A: y + 2 = -1(x - 4) => y = -x + 2.

Решаем систему:

• y = x + 4
• y = -x + 2

x + 4 = -x + 2 => 2x = -2 => x = -1.

y = -(-1) + 2 = 3.

Точка пересечения P = (-1, 3).

Теперь находим M:

M = (2 * P_x - A_x, 2 * P_y - A_y) = (2 * -1 - 4, 2 * 3 + 2) = (-2 - 4, 6 + 2) = (-6, 8).

Таким образом, точка M = (-6, 8).

Теперь у нас есть все необходимые результаты. Для визуализации можно построить чертеж с данными точками и линиями.