Какова вероятность того, что студент, подготовивший 50 из 60 вопросов на экзамене, знает два из трех предложенных ему вопросов?

Математика Колледж Теория вероятностей вероятность студент экзамен подготовка вопросы математика знания комбинаторика теорема выборка Новый

Для того чтобы найти вероятность того, что студент, подготовивший 50 из 60 вопросов на экзамене, знает два из трех предложенных ему вопросов, нужно следовать нескольким шагам.

1. Определим общее количество вопросов:

   Студент подготовил 50 вопросов из 60. Это значит, что он не подготовил 10 вопросов.

2. Определим вероятность того, что студент знает вопрос:

   Вероятность того, что студент знает случайно выбранный вопрос, можно выразить как отношение количества подготовленных вопросов к общему количеству вопросов:

   Вероятность знания вопроса = 50/60 = 5/6.

3. Определим вероятность того, что студент не знает вопрос:

   Вероятность того, что студент не знает случайно выбранный вопрос, будет равна:

   Вероятность незнания вопроса = 10/60 = 1/6.

4. Рассмотрим три предложенных вопроса:

   Нам нужно найти вероятность того, что из трех предложенных вопросов студент знает два. Это можно сделать с помощью формулы для биномиального распределения.

5. Вычислим вероятность:

   Обозначим:

   • k = 2 (количество известных вопросов),
   • n = 3 (общее количество предложенных вопросов),
   • p = 5/6 (вероятность знания вопроса),
   • q = 1/6 (вероятность незнания вопроса).

   Используем формулу биномиального распределения:

   P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k),

   где C(n, k) - биномиальный коэффициент, который равен n! / (k! * (n-k)!).

   В нашем случае:

   • C(3, 2) = 3! / (2! * 1!) = 3,
   • P(X = 2) = 3 * (5/6)^2 * (1/6)^1.

   Теперь подставим значения:

   P(X = 2) = 3 * (25/36) * (1/6) = 3 * 25 / 216 = 75 / 216.

6. Упростим дробь:

   75 и 216 не имеют общих делителей, следовательно, дробь уже в простейшем виде.

Таким образом, вероятность того, что студент знает два из трех предложенных ему вопросов, составляет 75/216.