Какова высота правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в сферу радиуса r, если боковое ребро наклонено к площади основы под углом α?

Математика Колледж Геометрия высота правильной четырехугольной пирамиды пирамиды вписанные в сферу радиус сферы r боковое ребро и угол α математика 12 класс Новый

Для нахождения высоты правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в сферу радиуса r, при условии, что боковое ребро наклонено к площади основания под углом α, необходимо использовать несколько геометрических соотношений.

Шаг 1: Определение высоты пирамиды

Высота пирамиды (h) - это перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды до центра основания. В правильной четырехугольной пирамиде основание представляет собой квадрат, и центр основания совпадает с центром этого квадрата.

Шаг 2: Связь между радиусом сферы и высотой

Правильная четырехугольная пирамида, вписанная в сферу, имеет следующие соотношения:

• Радиус сферы (r) равен расстоянию от центра сферы (центр основания) до вершины пирамиды.
• Высота h пирамиды и радиус r связаны через боковое ребро (l) и угол наклона α.

Шаг 3: Использование тригонометрии

При наклоне бокового ребра к основанию под углом α можно использовать тригонометрические функции:

• Синус угла α: sin(α) = h / l, где l - длина бокового ребра.
• Косинус угла α: cos(α) = (r - h) / l.

Шаг 4: Выражение высоты через радиус и угол

Из этих соотношений можно выразить высоту h:

• Из первого уравнения: h = l * sin(α).
• Из второго уравнения: l = (r - h) / cos(α).

Сравнив оба уравнения, получаем:

• h = (r - h) * tan(α).

Решая это уравнение относительно h, получим:

• h + h * tan(α) = r * tan(α),
• h(1 + tan(α)) = r * tan(α),
• h = r * tan(α) / (1 + tan(α)).

Итог: Высота правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в сферу радиуса r и имеющей боковое ребро, наклоненное к площади основания под углом α, выражается формулой:

h = r * tan(α) / (1 + tan(α)).