В усечённый конус с радиусами 3 и 6 вписан шар. Каково отношение площади полной поверхности этого усечённого конуса к площади поверхности шара?

Математика Колледж Геометрия усеченный конус радиусы 3 и 6 вписанный шар площадь поверхности отношение площадей Новый

Чтобы найти отношение площади полной поверхности усечённого конуса к площади поверхности вписанного шара, нам нужно сначала рассчитать каждую из этих площадей. Давайте разберёмся с каждым шагом подробно.

Шаг 1: Площадь полной поверхности усечённого конуса

Площадь полной поверхности усечённого конуса состоит из площади двух оснований и боковой поверхности. Формула для площади полной поверхности усечённого конуса выглядит следующим образом:

S = S1 + S2 + Sб,

где:

• S1 - площадь нижнего основания (радиус 3),
• S2 - площадь верхнего основания (радиус 6),
• Sб - площадь боковой поверхности.

Площади оснований вычисляются по формуле площади круга: S = πr².

• Для нижнего основания (радиус 3): S1 = π * 3² = 9π.
• Для верхнего основания (радиус 6): S2 = π * 6² = 36π.

Теперь найдем площадь боковой поверхности. Формула для площади боковой поверхности усечённого конуса:

Sб = π(R + r) * l,

где R - радиус нижнего основания, r - радиус верхнего основания, l - образующая конуса. Чтобы найти l, используем теорему Пифагора. Предположим, что высота конуса h и разность радиусов R и r образуют прямоугольный треугольник с образующей l.

Пусть h - высота усечённого конуса, тогда:

l = √(h² + (R - r)²) = √(h² + (6 - 3)²) = √(h² + 9).

Пока h неизвестна, но мы можем выразить площадь боковой поверхности через h.

Итак, площадь полной поверхности усечённого конуса:

S = 9π + 36π + π(3 + 6) * l = 45π + 9π * l.

Шаг 2: Площадь поверхности шара

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:

Sш = 4πR²,

где R - радиус шара. Чтобы найти радиус шара, который вписан в усечённый конус, можно использовать формулу:

R = (r * R) / (R + r),

где R - радиус нижнего основания, r - радиус верхнего основания. Подставляя значения:

R = (3 * 6) / (3 + 6) = 18 / 9 = 2.

Теперь можем найти площадь поверхности шара:

Sш = 4π * 2² = 16π.

Шаг 3: Отношение площадей

Теперь у нас есть площади:

• Площадь полной поверхности усечённого конуса: S = 45π + 9π * l,
• Площадь поверхности шара: Sш = 16π.

Теперь найдем отношение:

Отношение = S / Sш = (45π + 9π * l) / 16π.

Сократим π:

Отношение = (45 + 9l) / 16.

Таким образом, для окончательного ответа нам потребуется знать высоту h или образующую l, чтобы определить конкретное значение отношения. Если h известна, подставьте её значение и найдите l, чтобы получить окончательное отношение.