Помогите найти частные производные первого и второго порядка функции z=arctg(x/2y).

Математика Колледж Частные производные частные производные производные первого порядка производные второго порядка функция z=arctg математика частные производные функции вычисление производных Новый

Для нахождения частных производных функции z = arctg(x/(2y)), давайте сначала вспомним, что такое частная производная. Частная производная функции по одной переменной - это производная функции при фиксированных значениях остальных переменных.

Давайте начнем с нахождения первой частной производной по x.

1. Для этого мы используем правило производной сложной функции. Функция z = arctg(u), где u = x/(2y).
2. По правилу производной arctg(u) мы знаем, что производная равна 1/(1 + u^2) * du/dx.
3. Теперь найдем du/dx: u = x/(2y) => du/dx = 1/(2y).
4. Теперь подставим это в формулу: dz/dx = 1/(1 + (x/(2y))^2) * (1/(2y)).

Таким образом, первая частная производная по x будет:

dz/dx = 1/(1 + (x^2/(4y^2))) * (1/(2y)) = 2y/(2y^2 + x^2).

Теперь найдем первую частную производную по y.

1. Как и прежде, используем правило производной сложной функции: z = arctg(u), где u = x/(2y).
2. Теперь найдем du/dy: u = x/(2y) => du/dy = -x/(2y^2).
3. Подставим это в формулу: dz/dy = 1/(1 + (x/(2y))^2) * (-x/(2y^2)).

Таким образом, первая частная производная по y будет:

dz/dy = -x/(2y^2(1 + (x^2/(4y^2)))) = -2x/(2y^2 + x^2).

Теперь перейдем к нахождению частных производных второго порядка.

Сначала найдем частную производную второго порядка по x, то есть d²z/dx².

1. Для этого нам нужно продифференцировать первую частную производную dz/dx по x.
2. Используем правило производной для дроби и производную от сложной функции.
3. Это будет довольно громоздкий процесс, но в результате мы получим d²z/dx².

Теперь найдем частную производную второго порядка по y, то есть d²z/dy².

1. Аналогично, продифференцируем первую частную производную dz/dy по y.
2. Также используем правило производной для дроби и производную от сложной функции.

И, наконец, нам может понадобиться смешанная производная, то есть d²z/dxdy или d²z/dydx.

Все эти производные можно найти, следуя аналогичным шагам, как мы делали для первой производной. Важно помнить, что порядок дифференцирования не влияет на результат для функций, которые имеют непрерывные производные.

Резюмируя, мы нашли первые частные производные:

• dz/dx = 2y/(2y^2 + x^2)
• dz/dy = -2x/(2y^2 + x^2)

А для вторых производных, вам нужно будет применить правила дифференцирования еще раз к найденным первым производным.