Помогите решить, пожалуйста, частные производные у функции:

z = 5xy - 2x³y + 5y⁵x - 3

Математика Колледж Частные производные частные производные функция z = 5xy - 2x³y + 5y⁵x - 3 математика решение задачи Новый

Для нахождения частных производных функции z = 5xy - 2x³y + 5y⁵x - 3, мы будем использовать правила дифференцирования. Частная производная функции по одной переменной (например, x) подразумевает, что мы рассматриваем другую переменную (y) как константу, и наоборот.

Давайте сначала найдем частную производную z по x, обозначим её как ∂z/∂x.

1. Для первого слагаемого 5xy:
   • Принимаем y как константу, производная от 5xy по x равна 5y.
2. Для второго слагаемого -2x³y:
   • Здесь y также константа, производная от -2x³ по x равна -6x², следовательно, производная всего слагаемого равна -6x²y.
3. Для третьего слагаемого 5y⁵x:
   • y⁵ рассматривается как константа, производная от 5y⁵x по x равна 5y⁵.
4. Четвертое слагаемое -3:
   • Производная константы равна 0.

Теперь сложим все полученные производные:

∂z/∂x = 5y - 6x²y + 5y⁵.

Теперь найдем частную производную z по y, обозначим её как ∂z/∂y.

1. Для первого слагаемого 5xy:
   • Принимаем x как константу, производная от 5xy по y равна 5x.
2. Для второго слагаемого -2x³y:
   • Здесь x³ является константой, производная от -2x³y по y равна -2x³.
3. Для третьего слагаемого 5y⁵x:
   • Принимаем x как константу, производная от 5y⁵x по y равна 25y⁴x.
4. Четвертое слагаемое -3:
   • Производная константы равна 0.

Теперь сложим все полученные производные:

∂z/∂y = 5x - 2x³ + 25y⁴x.

Таким образом, мы получили частные производные:

• ∂z/∂x = 5y - 6x²y + 5y⁵
• ∂z/∂y = 5x - 2x³ + 25y⁴x