Задайте, пожалуйста, вопрос по математике: как найти частные производные функции Z = x^2 - 3xy + 4y^3x?

Математика Колледж Частные производные частные производные функция z математика производные x^2 - 3xy + 4y^3 нахождение производных Новый

Конечно! Давайте разберем, как найти частные производные функции Z = x^2 - 3xy + 4y^3x. Частные производные позволяют нам изучать, как функция изменяется по отношению к одной переменной, при этом фиксируя другие переменные.

В данном случае у нас есть функция Z, которая зависит от двух переменных: x и y. Мы найдем частные производные Z по x и по y.

1. Частная производная Z по x:

Для нахождения частной производной Z по x, мы будем рассматривать y как константу. Мы применим правила дифференцирования для каждой части функции Z:

• Первая часть: x^2. Производная от x^2 по x равна 2x.
• Вторая часть: -3xy. Здесь y считается константой, поэтому производная от -3xy по x равна -3y.
• Третья часть: 4y^3x. Производная от 4y^3x по x равна 4y^3.

Теперь складываем все полученные производные:

∂Z/∂x = 2x - 3y + 4y^3

2. Частная производная Z по y:

Теперь найдем частную производную Z по y, рассматривая x как константу:

• Первая часть: x^2. Производная от x^2 по y равна 0, так как x считается константой.
• Вторая часть: -3xy. Производная от -3xy по y равна -3x.
• Третья часть: 4y^3x. Производная от 4y^3x по y равна 12y^2x (используем правило произведения).

Теперь складываем все полученные производные:

∂Z/∂y = -3x + 12y^2x

Таким образом, мы нашли частные производные функции Z:

• ∂Z/∂x = 2x - 3y + 4y^3
• ∂Z/∂y = -3x + 12y^2x

Если у вас остались вопросы или нужны дополнительные пояснения, не стесняйтесь спрашивать!