Помогите пожалуйста очень срочно

Как найти производную, применяя метод логарифмического дифференцирования для функции:

y=(tg√x+1)^arctg2x

Математика Колледж Производные и дифференцирование производная логарифмическое дифференцирование функция tg arctg математика нахождение производной метод √x y=(tg√x+1)^arctg2x Новый

Для нахождения производной функции y = (tg(√x) + 1)^(arctg(2x)) с использованием метода логарифмического дифференцирования, следуем следующим шагам:

1. Применяем логарифм: Начнем с того, что возьмем натуральный логарифм от обеих сторон уравнения:
• ln(y) = ln((tg(√x) + 1)^(arctg(2x)))
2. Используем свойства логарифмов: Применим свойство логарифмов, которое гласит, что ln(a^b) = b * ln(a):
• ln(y) = arctg(2x) * ln(tg(√x) + 1)
3. Дифференцируем обе стороны: Теперь дифференцируем обе стороны по x. Не забудем, что производная ln(y) по x будет равна (1/y) * (dy/dx):
• (1/y) * (dy/dx) = d/dx[arctg(2x) * ln(tg(√x) + 1)]
4. Применяем правило произведения: Для правой части используем правило произведения:
• d/dx[arctg(2x)] * ln(tg(√x) + 1) + arctg(2x) * d/dx[ln(tg(√x) + 1)]
5. Находим производные: Теперь находим производные по отдельности:
• Производная arctg(2x) = 2 / (1 + (2x)^2) = 2 / (1 + 4x^2)
• Для ln(tg(√x) + 1) используем правило цепочки:
• Производная будет равна (1 / (tg(√x) + 1)) * (d/dx[tg(√x) + 1])
• Производная tg(√x) = sec^2(√x) * (1 / (2√x)) = sec^2(√x) / (2√x)
6. Подставляем найденные производные: Теперь подставляем все найденные производные в уравнение:
• (1/y) * (dy/dx) = (2 / (1 + 4x^2)) * ln(tg(√x) + 1) + arctg(2x) * ((1 / (tg(√x) + 1)) * (sec^2(√x) / (2√x)))
7. Умножаем обе стороны на y: Умножим обе стороны на y, чтобы изолировать dy/dx:
• dy/dx = y * [(2 / (1 + 4x^2)) * ln(tg(√x) + 1) + arctg(2x) * ((1 / (tg(√x) + 1)) * (sec^2(√x) / (2√x)))]
8. Подставляем y: Не забываем, что y = (tg(√x) + 1)^(arctg(2x)), подставим это значение:
• dy/dx = (tg(√x) + 1)^(arctg(2x)) * [(2 / (1 + 4x^2)) * ln(tg(√x) + 1) + arctg(2x) * ((1 / (tg(√x) + 1)) * (sec^2(√x) / (2√x)))]

Таким образом, мы нашли производную функции y с помощью метода логарифмического дифференцирования. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!