Конечно! Давайте рассмотрим 13 основных правил и формул для нахождения производных функций. Я приведу примеры для каждой из них.

1. Производная константы: Если f(x) = c, где c - константа, то f'(x) = 0.

Пример: f(x) = 5, тогда f'(x) = 0.

2. Производная x^n: Если f(x) = x^n, то f'(x) = n * x^(n-1).

Пример: f(x) = x^3, тогда f'(x) = 3 * x^2.

3. Производная суммы: Если f(x) = g(x) + h(x), то f'(x) = g'(x) + h'(x).

Пример: f(x) = x^2 + x^3, тогда f'(x) = 2x + 3x^2.

4. Производная разности: Если f(x) = g(x) - h(x), то f'(x) = g'(x) - h'(x).

Пример: f(x) = x^2 - 3x, тогда f'(x) = 2x - 3.

5. Производная произведения: Если f(x) = g(x) * h(x), то f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x).

Пример: f(x) = x^2 * sin(x), тогда f'(x) = 2x * sin(x) + x^2 * cos(x).

6. Производная частного: Если f(x) = g(x) / h(x), то f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2.

Пример: f(x) = x^2 / (x + 1), тогда f'(x) = (2x * (x + 1) - x^2 * 1) / (x + 1)^2.

7. Производная функции e^x: Если f(x) = e^x, то f'(x) = e^x.

Пример: f(x) = e^x, тогда f'(x) = e^x.

8. Производная функции ln(x): Если f(x) = ln(x), то f'(x) = 1/x.

Пример: f(x) = ln(x), тогда f'(x) = 1/x.

9. Производная тригонометрических функций:
   • Если f(x) = sin(x), то f'(x) = cos(x).
   • Если f(x) = cos(x), то f'(x) = -sin(x).
   • Если f(x) = tan(x), то f'(x) = sec^2(x).

Пример: f(x) = sin(x), тогда f'(x) = cos(x).

10. Производная обратных тригонометрических функций:
    • Если f(x) = arcsin(x), то f'(x) = 1/sqrt(1 - x^2).
    • Если f(x) = arccos(x), то f'(x) = -1/sqrt(1 - x^2).
    • Если f(x) = arctan(x), то f'(x) = 1/(1 + x^2).

Пример: f(x) = arctan(x), тогда f'(x) = 1/(1 + x^2).

11. Производная показательной функции: Если f(x) = a^x, где a > 0, то f'(x) = a^x * ln(a).

Пример: f(x) = 2^x, тогда f'(x) = 2^x * ln(2).

12. Производная сложной функции (правило цепи): Если f(x) = g(h(x)), то f'(x) = g'(h(x)) * h'(x).

Пример: f(x) = sin(x^2), тогда f'(x) = cos(x^2) * 2x.

Вот и все 13 производных с примерами и объяснениями. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с конкретными задачами, не стесняйтесь спрашивать!