Как можно вычислить производную сложной функции?

1. y=5*ctg(x^2+1)
2. y=-5sin(x^5-6)

Математика Университет Производные функций производная сложной функции вычисление производной примеры производных правила дифференцирования математика производные Новый

Чтобы вычислить производную сложной функции, мы используем правило цепочки. Правило цепочки гласит, что если у нас есть функция, которая является композицией двух функций, то производная этой функции равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции.

Давайте рассмотрим каждую из ваших функций по отдельности.

1. Функция: y = 5 * ctg(x^2 + 1)

1. Сначала определим внешнюю и внутреннюю функции. Внешняя функция - это 5 * ctg(u), где u = x^2 + 1.
2. Теперь найдем производную внешней функции. Производная ctg(u) равна -csc^2(u). Поэтому производная 5 * ctg(u) будет -5 * csc^2(u).
3. Теперь найдем производную внутренней функции u = x^2 + 1. Производная x^2 + 1 равна 2x.
4. Теперь применим правило цепочки: производная y будет равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции:
5. dy/dx = -5 * csc^2(x^2 + 1) * 2x = -10x * csc^2(x^2 + 1).

Таким образом, производная функции y = 5 * ctg(x^2 + 1) равна -10x * csc^2(x^2 + 1).

2. Функция: y = -5 * sin(x^5 - 6)

1. Определим внешнюю и внутреннюю функции. Внешняя функция - это -5 * sin(v), где v = x^5 - 6.
2. Теперь найдем производную внешней функции. Производная sin(v) равна cos(v). Поэтому производная -5 * sin(v) будет -5 * cos(v).
3. Теперь найдем производную внутренней функции v = x^5 - 6. Производная x^5 - 6 равна 5x^4.
4. Применим правило цепочки: производная y будет равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции:
5. dy/dx = -5 * cos(x^5 - 6) * 5x^4 = -25x^4 * cos(x^5 - 6).

Таким образом, производная функции y = -5 * sin(x^5 - 6) равна -25x^4 * cos(x^5 - 6).

В итоге, мы нашли производные обеих функций, используя правило цепочки и производные основных тригонометрических функций.