Как можно решить дифференциальное уравнение: 1) у'' + 15у' = 0?

Математика Университет Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение решение уравнения математика уравнение второго порядка методы решения у'' + 15у' = 0 Новый

Чтобы решить дифференциальное уравнение у'' + 15у' = 0, давайте сначала определим, что это уравнение является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Шаги решения:

1. Запишем характеристическое уравнение: Для уравнения у'' + 15у' = 0 мы можем предположить, что решение имеет вид у = e^(rt), где r - это постоянная. Подставим это предположение в уравнение.
2. Подставляя в уравнение, получаем:
• r^2 * e^(rt) + 15 * r * e^(rt) = 0
3. Упростим уравнение: Факторизуем e^(rt):
• e^(rt) (r^2 + 15r) = 0
4. Решим характеристическое уравнение: Мы получаем два множителя:
• e^(rt) ≠ 0, следовательно, r^2 + 15r = 0
5. Решим уравнение r^2 + 15r = 0:
• r(r + 15) = 0
• Следовательно, r1 = 0 и r2 = -15
6. Запишем общее решение: Поскольку у нас два корня, одно решение является нулевым, а другое - действительным, общее решение будет:
• у(t) = C1 * e^(0 * t) + C2 * e^(-15t)
• где C1 и C2 - произвольные постоянные.
7. Упростим общее решение: Поскольку e^(0 * t) = 1, мы можем упростить решение до:
• у(t) = C1 + C2 * e^(-15t)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения у'' + 15у' = 0 имеет вид:

у(t) = C1 + C2 * e^(-15t)

Где C1 и C2 - произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных условий, если они заданы.