Как найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, которое удовлетворяет следующим начальным условиям:

• y'' + 10y' + 34y = -9e^(-5x),
• y(0) = 0,
• y'(0) = 6?

Математика Университет Обычные дифференциальные уравнения линейное неоднородное уравнение частное решение начальные условия Дифференциальное уравнение математика решение уравнения Новый

Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения, такого как:

y'' + 10y' + 34y = -9e^(-5x),

необходимо выполнить несколько шагов. Мы будем искать общее решение уравнения, которое состоит из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

1. Найти общее решение однородного уравнения:

Сначала решим однородное уравнение:

y'' + 10y' + 34y = 0.

Для этого найдем характеристическое уравнение:

r^2 + 10r + 34 = 0.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 * 1 * 34 = 100 - 136 = -36.

Так как дискриминант отрицательный, у нас будут комплексные корни:

r = (-b ± √D) / 2a = (-10 ± √(-36)) / 2 = -5 ± 3i.

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h = e^(-5x)(C1 * cos(3x) + C2 * sin(3x)),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

2. Найти частное решение неоднородного уравнения:

Теперь мы ищем частное решение для неоднородного уравнения:

y_p = Ae^(-5x),

где A - постоянная, которую мы должны определить. Подставим y_p в уравнение:

Найдём производные:

• y_p' = -5Ae^(-5x),
• y_p'' = 25Ae^(-5x).

Подставим эти производные в уравнение:

25Ae^(-5x) + 10(-5Ae^(-5x)) + 34(Ae^(-5x)) = -9e^(-5x).

Упростим это уравнение:

(25A - 50A + 34A)e^(-5x) = -9e^(-5x).

Соберем коэффициенты:

(9A)e^(-5x) = -9e^(-5x).

Таким образом, A = -1.

Следовательно, частное решение имеет вид:

y_p = -e^(-5x).

3. Записать общее решение:

Теперь можем записать общее решение:

y = y_h + y_p = e^(-5x)(C1 * cos(3x) + C2 * sin(3x)) - e^(-5x).

4. Найти произвольные постоянные с помощью начальных условий:

Теперь подставим начальные условия:

• y(0) = 0:

Подставим x = 0:

y(0) = C1 - 1 = 0,

откуда C1 = 1.

• y'(0) = 6:

Сначала найдем производную y:

Используем правило произведения:

y' = e^(-5x)(C1 * (-5) * cos(3x) + C2 * (-5) * sin(3x) + C1 * (-3) * sin(3x) + C2 * 3 * cos(3x)) - e^(-5x)(C1 * cos(3x) + C2 * sin(3x)).

Подставим x = 0:

y'(0) = -5C1 + 3C2 - C1 = 6.

Подставляя C1 = 1:

-5(1) + 3C2 - 1 = 6.

Упростим это уравнение:

3C2 - 6 = 6,

откуда 3C2 = 12, следовательно C2 = 4.

Таким образом, мы нашли произвольные постоянные C1 и C2:

C1 = 1, C2 = 4.

Теперь можем записать окончательное решение:

y = e^(-5x)(cos(3x) + 4sin(3x)) - e^(-5x).

Это и есть частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.