Чтобы найти общее решение для указанных дифференциальных уравнений, мы будем следовать определенным шагам для каждого из них. Рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

1. Начнем с приведения уравнения к стандартному виду:

• 3e^x sin y + (1 - e^x) (dy/dx) = 0

2. Выразим dy/dx:

• dy/dx = -3e^x sin y / (1 - e^x)

3. Теперь решим это уравнение методом разделения переменных:

• dy / sin y = -3e^x / (1 - e^x) dx

4. Интегрируем обе стороны:

• ∫(dy / sin y) = -3 ∫(e^x / (1 - e^x)) dx

5. После интеграции получаем:

• ln |tan(y/2)| = -3(ln |1 - e^x|) + C

6. Таким образом, общее решение:

• ln |tan(y/2)| + 3ln |1 - e^x| = C

1. Приведем уравнение к стандартному виду:

• (1 + y²) dx = (y + yx²) dy

2. Разделим переменные:

• dx / (y + yx²) = dy / (1 + y²)

3. Интегрируем обе стороны:

• ∫(dx / (y(1 + x²))) = ∫(dy / (1 + y²))

4. После интеграции получаем:

• ln |y| + C₁ = arctan(y) + C₂

5. Общее решение:

• ln |y| - arctan(y) = C

1. Запишем производную y' в явном виде:

• y' = (√(x² - y²) + y) / x

2. Теперь разделим переменные:

• dy / (√(x² - y²) + y) = dx / x

3. Интегрируем обе стороны:

• ∫(dy / (√(x² - y²) + y)) = ∫(dx / x)

4. После интеграции получаем:

• ln |x| = F(y) + C

где F(y) - это функция, полученная из интеграла.

5. Таким образом, общее решение будет в форме:

• ln |x| - F(y) = C

Эти шаги помогут вам найти общее решение для указанных дифференциальных уравнений. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!