Срочно!!!!!!! Даю 100 баллов! [НЕ СПАМИТЬ И НЕ ПИСАТЬ , ЧТО НЕ ЗНАЕТЕ!!!!!]

Решение написать на листе!!!!

ТЕМА: "обычные дифференциальные уравнения"

Задание: "Как найти общее решение (общий интеграл) для следующих дифференциальных уравнений:

• a) 3e^x sin y dx + (1 - e^x) cos y dy = 0;
• б) (1 + y²) dx - (y + yx²) dy = 0;
• в) xy' = √(x² - y²) + y.

Математика Университет Обычные дифференциальные уравнения обычные дифференциальные уравнения общее решение общий интеграл решение дифференциальных уравнений математические задачи интегрирование уравнений методы решения уравнений Новый

Чтобы найти общее решение для указанных дифференциальных уравнений, мы будем следовать определенным шагам для каждого из них. Рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

a) 3e^x sin y dx + (1 - e^x) cos y dy = 0

1. Начнем с приведения уравнения к стандартному виду:

• 3e^x sin y + (1 - e^x) (dy/dx) = 0

2. Выразим dy/dx:

• dy/dx = -3e^x sin y / (1 - e^x)

3. Теперь решим это уравнение методом разделения переменных:

• dy / sin y = -3e^x / (1 - e^x) dx

4. Интегрируем обе стороны:

• ∫(dy / sin y) = -3 ∫(e^x / (1 - e^x)) dx

5. После интеграции получаем:

• ln |tan(y/2)| = -3(ln |1 - e^x|) + C

6. Таким образом, общее решение:

• ln |tan(y/2)| + 3ln |1 - e^x| = C

б) (1 + y²) dx - (y + yx²) dy = 0

1. Приведем уравнение к стандартному виду:

• (1 + y²) dx = (y + yx²) dy

2. Разделим переменные:

• dx / (y + yx²) = dy / (1 + y²)

3. Интегрируем обе стороны:

• ∫(dx / (y(1 + x²))) = ∫(dy / (1 + y²))

4. После интеграции получаем:

• ln |y| + C₁ = arctan(y) + C₂

5. Общее решение:

• ln |y| - arctan(y) = C

в) xy' = √(x² - y²) + y

1. Запишем производную y' в явном виде:

• y' = (√(x² - y²) + y) / x

2. Теперь разделим переменные:

• dy / (√(x² - y²) + y) = dx / x

3. Интегрируем обе стороны:

• ∫(dy / (√(x² - y²) + y)) = ∫(dx / x)

4. После интеграции получаем:

• ln |x| = F(y) + C

где F(y) - это функция, полученная из интеграла.

5. Таким образом, общее решение будет в форме:

• ln |x| - F(y) = C

Эти шаги помогут вам найти общее решение для указанных дифференциальных уравнений. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!