Срочно!!!!!!! Даю 100 баллов! [НЕ СПАМИТЬ И НЕ ПИСАТЬ , ЧТО НЕ ЗНАЕТЕ!!!!!]

ТЕМА: "обычные дифференциальные уравнения"

Задание: "Как найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка:

xy'' = y' + x²."

Математика Университет Обычные дифференциальные уравнения обычные дифференциальные уравнения общее решение понижение порядка Дифференциальное уравнение метод решения математический анализ xy'' = y' + x² решение уравнения дифференциальные уравнения 1 порядка математические методы Новый

Давайте разберем, как найти общее решение данного дифференциального уравнения, которое имеет вид:

xy'' = y' + x².

Это уравнение второго порядка. Мы заметим, что в нем присутствует переменная x, которая умножается на вторую производную y, и это может дать нам возможность понизить порядок уравнения.

Шаги решения:

1. Перепишем уравнение: У нас есть уравнение, которое можно записать в более удобной форме:

xy'' - y' - x² = 0.

2. Понижение порядка: Чтобы понизить порядок этого уравнения, мы можем сделать замену переменной. Мы можем ввести новую переменную:

v = y', тогда y'' = v'.

3. Подставим в уравнение: Заменим y' и y'' в исходном уравнении:

xv' = v + x².

4. Приведем уравнение к стандартному виду: Перепишем его:

xv' - v = x².

5. Это уравнение первого порядка: Теперь мы имеем уравнение первого порядка, которое можно решить. Оно имеет вид:

v' - (1/x)v = x.

6. Решение однородной части: Сначала решим однородное уравнение:

v' - (1/x)v = 0.

Решение будет иметь вид:

v_h = Cx, где C - произвольная константа.

7. Нахождение частного решения: Теперь найдем частное решение. Для этого воспользуемся методом вариации параметров или методом интегрирующего множителя:

Интегрирующий множитель будет равен e^(∫(-1/x)dx) = 1/x.

Умножим уравнение на интегрирующий множитель:

(1/x)v' - (1/x^2)v = 1.

Теперь интегрируем обе стороны:

∫(1/x)v'dx = ∫(1)dx.

Это дает нам:

v = x + C/x.

8. Подставляем v обратно: Теперь мы можем вернуть v к y':

y' = x + C/x.

9. Интегрируем для нахождения y: Теперь интегрируем:

y = ∫(x + C/x)dx = (1/2)x^2 + Cln|x| + D, где D - произвольная константа интегрирования.

10. Записываем общее решение: Таким образом, общее решение нашего первоначального уравнения будет:

y = (1/2)x^2 + Cln|x| + D.

Таким образом, мы нашли общее решение дифференциального уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!