Какова задача по математике? Определите, с доказательством, все положительные целые числа k такие, что

1/(n+1) * Σ (от i=0 до n) (C(n, i))^k

является целым числом для любого положительного целого числа n.

Математика Университет Комбинаторика математика задача по математике положительные целые числа целые числа комбинаторика сумма доказательство математическая задача значения k N C(n i) Новый

Для решения данной задачи нам нужно определить все положительные целые числа k, такие что выражение:

1/(n+1) * Σ (от i=0 до n) (C(n, i))^k

является целым числом для любого положительного целого числа n. Здесь C(n, i) - это биномиальный коэффициент, который равен "числу способов выбрать i элементов из n".

Шаги решения:

1. Анализируем сумму: Сначала мы рассмотрим сумму Σ (от i=0 до n) (C(n, i))^k. Эта сумма представляет собой сумму k-ых степеней биномиальных коэффициентов.
2. Используем свойства биномиальных коэффициентов: Известно, что сумма биномиальных коэффициентов по всем i от 0 до n равна 2^n, то есть:
• Σ (от i=0 до n) C(n, i) = 2^n.
3. Сумма степеней: Для k=1, мы имеем:
• Σ (от i=0 до n) C(n, i) = 2^n, и тогда:
• 1/(n+1) * 2^n является целым, когда n+1 делит 2^n.
• Это верно, так как 2^n делится на n+1, если n+1 является степенью двойки.
4. Проверка других значений k: Для k=2, можно использовать известное свойство:
• Σ (от i=0 до n) (C(n, i))^2 = C(2n, n).
• Тогда 1/(n+1) * C(2n, n) является целым числом, так как C(2n, n) делится на n+1.
5. Обобщение: Для k > 2, сумма Σ (от i=0 до n) (C(n, i))^k становится все более сложной, и не всегда будет давать целое число в зависимости от n. Например, для k=3 и выше, не существует простого делителя, который бы гарантировал целочисленность выражения для всех n.
6. Вывод: Таким образом, мы можем утверждать, что целыми числами k, для которых данное выражение остается целым для любого n, являются:
• k = 1
• k = 2

Итак, окончательный ответ: все положительные целые числа k, для которых выражение является целым числом для любого положительного целого числа n, это k = 1 и k = 2.