Чтобы определить, какое из приведенных предложений содержит составное глагольное сказуемое, давайте сначала вспомним, что такое составное глагольное сказуемое. Это сказуемое, которое состоит из двух частей: вспомогательного глагола и смыслового глагола.

Теперь рассмотрим каждое предложение:

• На улице начал сгущаться сумрак.

  Здесь "начал" - это вспомогательный глагол, а "сгущаться" - смысловой. Это предложение содержит составное глагольное сказуемое: "начал сгущаться".

• Смердяков упрашивал его остаться.

  В этом предложении "упрашивал" - единственный глагол, который является смысловым. Здесь нет вспомогательного глагола, значит, это простое глагольное сказуемое.

• Личико Антипа было сурово.

  Здесь "было" - это связующий глагол, а "сурово" - это характеристика. Это также не составное глагольное сказуемое.

• Впереди теснее был виден мост.

  В этом предложении "был виден" - это сочетание связующего глагола и смыслового, но не является составным глагольным сказуемым в классическом понимании, так как здесь нет двух глаголов, а только один связующий и один смысловой.

Таким образом, единственным предложением, содержащим составное глагольное сказуемое, является первое: На улице начал сгущаться сумрак.