Какова площадь поперечного сечения тетраэдра ABCD, если все его ребра имеют длину 6 см, а плоскость проходит через середины ребер AB, BC и AD?

Русский язык 9 класс Геометрия площадь поперечного сечения тетраэдр ABCD ребра длина 6 см середины ребер AB BC AD Новый

Для нахождения площади поперечного сечения тетраэдра ABCD, где все ребра имеют длину 6 см, а плоскость проходит через середины ребер AB, BC и AD, давайте последовательно разберем задачу.

Шаг 1: Определение координат вершин тетраэдра

• Пусть точка A будет в начале координат: A(0, 0, 0).
• Точка B будет находиться на оси X: B(6, 0, 0).
• Точка C будет находиться в плоскости XY: C(3, 3√3, 0) (так как ABC - равносторонний треугольник с длиной стороны 6 см).
• Точка D будет находиться на оси Z: D(3, √6, 3√2).

Шаг 2: Определение координат середины ребер

• Середина ребра AB: M1 = ((0 + 6)/2, (0 + 0)/2, (0 + 0)/2) = (3, 0, 0).
• Середина ребра BC: M2 = ((6 + 3)/2, (0 + 3√3)/2, (0 + 0)/2) = (4.5, 1.5√3, 0).
• Середина ребра AD: M3 = ((0 + 3)/2, (0 + 0)/2, (0 + 3√2)/2) = (1.5, 0, 1.5√2).

Шаг 3: Определение векторов, образующих треугольник

• Вектор M1M2: (4.5 - 3, 1.5√3 - 0, 0 - 0) = (1.5, 1.5√3, 0).
• Вектор M1M3: (1.5 - 3, 0 - 0, 1.5√2 - 0) = (-1.5, 0, 1.5√2).

Шаг 4: Нахождение площади треугольника

Площадь треугольника можно найти по формуле:

Площадь = 0.5 * |M1M2 x M1M3|, где x - векторное произведение.

Шаг 5: Вычисление векторного произведения

• Векторное произведение M1M2 и M1M3:
• Определим детерминант:
• |i j k|
• |1.5 1.5√3 0|
• |-1.5 0 1.5√2|
• Вычисляем:
• i(1.5√3 * 1.5√2 - 0) - j(1.5 * 1.5√2 - 0) + k(1.5 * 0 - (-1.5 * 1.5√3))
• Получаем: (2.25√6, -2.25√2, 2.25√3).

Шаг 6: Нахождение длины векторного произведения

Длина векторного произведения:

sqrt((2.25√6)² + (-2.25√2)² + (2.25√3)²) = sqrt(30.375 + 10.125 + 15.1875) = sqrt(55.6875).

Шаг 7: Подсчет площади треугольника

Теперь можем найти площадь:

Площадь = 0.5 * sqrt(55.6875).

Таким образом, площадь поперечного сечения тетраэдра ABCD равна 0.5 * sqrt(55.6875) см².