Свойства логарифмов

Определение: Логарифмом числа b по основанию a (где a > 0, a ≠ 1) называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b.

Логарифм обозначается как loga b, где a — основание, b — аргумент.

Например:

• log2 8 = 3, так как 2³ = 8;
• log7 49 = 2, так как 7² = 49.

Основные свойства логарифмов:

1. loga a = 1, где a > 0 и a ≠ 1. Это свойство следует из определения логарифма. Если a возвести в степень 1, то получим само число a.
2. loga 1 = 0, где a > 0 и a ≠ 1. Здесь также следует из определения. Любое число в нулевой степени равно единице.
3. loga (bc) = loga b + loga c, где a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0. Это свойство называется свойством произведения. Оно позволяет упростить вычисления с логарифмами. Например, log5 25 = log5 (5²) = 2 * log5 5 = 2.
4. *loga bn = n loga b, где a > 0, a ≠ 1, n — любое целое число. Это свойство степени**. Например, 3² = (3²)².
5. loga bc = loga b - loga c, где a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 — свойство частного. Например, log6 18 - log6 2 = log6 (18/2) = log69 = 2.
6. *logak = k logab, где k — любое действительное число, a > 0, a ≠ 1 — формула перехода к новому основанию**. Например, log3 9 = log9 27 / log9 3 = 3 / 2 = 1,5.
7. logab = 1 / logba, где a > 0, a ≠ 1, b > 0 — формулы перехода к новому основанию для случая, когда число под знаком логарифма и число в основании меняются местами. Например, log2 4 = 2, тогда log4 2 = ½.

Эти свойства позволяют выполнять различные преобразования выражений, содержащих логарифмы. Они являются основой для решения уравнений и неравенств с логарифмическими функциями.

Пример 1: Вычислить log2 64.Решение: Так как 64 = 2⁶, то log2 64 = 6.Ответ: 6.

Пример 2: Решить уравнение logx 16 = 2.Решение: По определению логарифма x² = 16, откуда x = ±4. Однако x должен быть больше нуля, поэтому x = 4.Ответ: x = 4.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое логарифм?
2. Какие основные свойства логарифмов вы знаете?
3. Как использовать свойства логарифмов для упрощения вычислений?
4. Как решать уравнения и неравенства с логарифмическими выражениями?

Для закрепления материала рекомендуется выполнить несколько упражнений на применение свойств логарифмов. Также можно рассмотреть примеры решения более сложных задач, включающих использование нескольких свойств одновременно.