Корень третьей степени: определение и свойства

Определение:

Корнем третьей степени из числа a называют такое число, которое при возведении в куб (третью степень) даёт число a.

Математически это записывается так: $\sqrt[3]{a}$, где a — это число, из которого извлекается корень.

Например, $\sqrt[3]{8} = 2$, потому что 2³ = 8.

Также корень третьей степени можно записать как $a^{1/3}$.

Свойства корня третьей степени:

1. Арифметический квадратный корень:

Если $a \geqslant 0$, то $\sqrt[3]{a} \geqslant 0$.

Это свойство следует из определения арифметического квадратного корня.

2. Равенство нулю:

$\sqrt[3]{0} = 0$, так как любое число в нулевой степени равно единице.

3. Умножение корней:

При умножении корней третьей степени с одинаковыми основаниями, основания перемножаются, а показатель степени остаётся прежним.

То есть: $\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab}$, где $a$ и $b$ — положительные числа.

4. Деление корней:

При делении корней третьей степени с одинаковыми основаниями, основание остаётся прежним, а показатели степени вычитаются.

То есть: $\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}=\sqrt[3]{\frac{a}{b}}$

5. Возведение корня в степень:

Чтобы возвести корень в степень, нужно возвести в эту степень подкоренное число.

То есть $(\sqrt[3]{a})^n=a^\frac{n}{3}$, где n — натуральное число.

6. Извлечение корня из произведения:

Корень из произведения можно извлечь, если извлечь корень из каждого множителя отдельно.

То есть $\sqrt[3]{abc}=\sqrt[3]a\cdot\sqrt[3]b\cdot\sqrt[3]c$.

7. Внесение под знак корня:

Под знак корня можно внести число, возведённое в степень, равную показателю корня.

То есть, если $n$ — натуральное число и $a≥0$, то $\sqrt[3]{n^3a}=na$.

Решение задач с использованием корня третьей степени

Рассмотрим несколько примеров задач, которые можно решить с помощью корня третьей степени.

Задача 1:

Вычислите $\sqrt{27}$.

Решение:

$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3$, следовательно, $\sqrt{27} = \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 3} = 3$.

Задача 2:

Найдите значение выражения $\frac{5\sqrt[3]{216}}{9}$.

Решение:

Сначала вычислим значение $\sqrt[3]{216}$. Для этого представим 216 в виде произведения $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$. Тогда $\sqrt[3]{216} = \sqrt[3]{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = 4 \cdot \sqrt[3]{9} = 4$. Теперь найдём значение всего выражения: $\frac{5 \cdot 4}{9} = \frac{20}{9} = 2\frac{2}{9}$.

Задача 3:

Решите уравнение $x^3 = 125$.

Решение:

Для решения уравнения нужно извлечь корень третьей степени из обеих частей уравнения: $x = \sqrt[3]{125} = 5$. Ответ: 5.

Эти задачи показывают, как можно использовать корень третьей степени для решения различных математических задач.

Применение корня третьей степени в статистике

В статистике корень третьей степени может использоваться для вычисления среднего кубического значения.

Среднее кубическое значение — это среднее значение, полученное путём возведения всех значений выборки в куб и последующего извлечения кубического корня из суммы этих значений.

Оно используется для оценки центральной тенденции в данных, когда среднее арифметическое или медиана не подходят.

Рассмотрим пример:

Пусть у нас есть выборка из 5 чисел: 1, 2, 3, 4, 5.

Тогда среднее арифметическое этой выборки будет равно $\frac {1+2+3+4+5} {5} = 3$, а среднее квадратичное — $\sqrt {(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)/5} = \sqrt {\frac {50} {5}} = \sqrt 10 = 3,16$.

А среднее кубическое значение будет равно: $\sqrt[3]{(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3) / 5} = \sqrt[3]{ \frac {150} {5}} = 2,81$.

Как видно из примера, среднее кубическое значение отличается от среднего арифметического и среднего квадратичного. Оно может быть более подходящим для некоторых типов данных.

Таким образом, корень третьей степени — это математическая функция, которая находит своё применение в различных областях математики и статистики.