Модуль числа

В математике модуль числа — это его абсолютная величина, то есть расстояние от нуля до этого числа на числовой прямой. Модуль обозначается двумя вертикальными чертами: |a|.

Определение модуля числа

Модуль положительного числа равен самому числу:|a| = a, если a > 0.

Например, |5| = 5.

Модуль отрицательного числа равен противоположному числу:|а| = -а, если а < 0.

Например, |-3| = 3.

Модуль нуля равен нулю:|0| = 0.

Таким образом, модуль любого числа всегда является неотрицательным числом.

Геометрический смысл модуля

Геометрически модуль числа можно представить как расстояние от начала координат (точки 0) до точки, соответствующей этому числу на координатной прямой.

На рисунке ниже показаны модули чисел 2 и -3:|2| = 2; |-3| = 3.

Свойства модуля

1. Модуль числа не может быть отрицательным:|a| ≥ 0 для любого a.
2. Модули противоположных чисел равны:|-a| = |a|.
3. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа:|a|² = a² для любого a.
4. Если a ≥ b, то |a| ≥ |b|.
5. Если |a| = |b|, то a = ±b.
6. Если |a| < |b| и a ≠ 0, то a < b.
7. Для любых чисел a и b верно равенство:|a – b| ≤ |a| + |b|.

Эти свойства помогают решать задачи с модулями.

Примеры решения задач

Задача 1. Найдите значение выражения:|3,7| + |-4,3|.Решение:Подставим в выражение значения модулей:|3,7| = 3,7;|-4,3| = 4,3.Теперь сложим эти числа:3,7 + 4,3 = 8.Ответ: 8.

Задача 2. Вычислите:|12| – |–5|.Решение:По определению модуля:|12| = 12;|-5| = 5.Вычитаем из первого числа второе:12 – 5 = 7.Ответ: 7.

Задача 3. Решите уравнение:|x – 3| = 9.Решение:Раскроем модуль:Если x – 3 ≥ 0, то x ≥ 3, тогда |x – 3| = x – 3;Если x – 3 < 0, то x < 3, тогда |x – 3| = -(x – 3).Получаем два уравнения:x – 3 = 9 или -(x – 3) = 9;x = 12 или x = -6.Ответ: -6; 12.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое модуль числа?
2. Как найти модуль положительного числа? Отрицательного числа? Нуля?
3. В чём геометрический смысл модуля?
4. Перечислите основные свойства модуля.
5. Приведите примеры решения задач с модулем.