Рациональные числа и действия над ними

ВведениеРациональные числа — это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби или десятичной дроби. Они включают в себя целые числа (положительные, отрицательные и ноль), а также дробные числа. В этом уроке мы рассмотрим основные понятия, связанные с рациональными числами, и научимся выполнять действия над ними.

Основные понятия

1. Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа и число 0. Целые числа включают положительные числа, отрицательные числа и нуль. Например, 5, -3, 0 — целые числа.
2. Дробные числа — это числа, представленные в виде дробей, где числитель и знаменатель являются целыми числами. Дробные числа могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Например, ½, -¾, 0,5 — дробные числа.
3. Обыкновенная дробь — это число, представленное в виде отношения двух целых чисел, где одно число является числителем, а другое — знаменателем. Обыкновенные дроби могут быть правильными (числитель меньше знаменателя) или неправильными (числитель больше или равен знаменателю).
4. Десятичная дробь — это дробь, в которой знаменатель равен 10, 100, 1 000 и так далее. Десятичные дроби могут быть конечными (имеют определённое количество цифр после запятой) или бесконечными (после запятой бесконечно повторяются одна или несколько цифр).

Действия над рациональными числамиНад рациональными числами можно выполнять следующие действия: сложение, вычитание, умножение и деление.

• Сложение: чтобы сложить два рациональных числа с одинаковыми знаками, нужно сложить их модули и поставить общий знак. Чтобы сложить два рациональных числа с разными знаками, нужно из модуля большего числа вычесть модуль меньшего и поставить знак большего числа. Например:
  • 7 + 3 = 10;
  • -5 + 8 = 3.
• Вычитание: чтобы вычесть два рациональных числа, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Например:
  • 9 - 4 = 9 + (-4) = 5;
  • -6 - 2 = -6 + (-2) = -8.
• Умножение: чтобы умножить два рациональных числа одного знака, нужно перемножить их модули. Если знаки разные, то произведение будет отрицательным. Например:
  • 5 * 3 = 15;
  • -4 * (-3) = 24.
• Деление: чтобы разделить два рациональных числа одного знака, нужно разделить их модули. Частное будет положительным. Если знаки разные, частное будет отрицательным. При делении на ноль получается неопределённость. Например:
  • 6 : 2 = 3;
  • -12 : 4 = -3;
  • 0 : 5 = 0.

Важно помнить, что при выполнении действий над рациональными числами необходимо соблюдать порядок действий, как и при работе с другими числами. Также следует учитывать знаки чисел при выполнении операций сложения, вычитания, умножения и деления.

Примеры решения задачРассмотрим несколько примеров решения задач на действия с рациональными числами:

1. Найти сумму чисел ⅔ и -⅓.Решение:⅔ + (-⅓) = ⅔ - ⅓ = ¹/₃Ответ: ¹/₃.

2. Вычислить разность чисел -2,3 и 1,7.Решение:-2,3 - 1,7 = -2,3 + (-1,7) = -4Ответ: -4.

3. Умножить числа ⁵/₆ и -3.Решение:⁵/₆ (-3) = -(⁵/₆ 3) = -¹⁰/₂ = -5Ответ: -5.

4. Разделить число -9 на -3.Решение:-9 : (-3) = ³Ответ: ³.

Эти задачи показывают, как можно применять знания о действиях над рациональными числами для решения практических задач.

В заключение стоит отметить, что изучение рациональных чисел и действий над ними является важным этапом в изучении математики. Рациональные числа широко используются в повседневной жизни и в различных областях науки и техники. Умение работать с рациональными числами помогает решать задачи, связанные с расчётами, анализом данных и другими математическими операциями.