Декартова система координат — это один из основных инструментов в математике и геометрии, который позволяет нам описывать положение точек на плоскости и в пространстве. Эта система была названа в честь французского философа и математика Рене Декарта, который внес значительный вклад в развитие аналитической геометрии. Декартова система координат состоит из двух (в двумерном пространстве) или трех (в трехмерном пространстве) взаимно перпендикулярных осей, которые пересекаются в так называемой точке отсчета или начале координат.

В двумерной декартовой системе координат используются две оси: горизонтальная ось X и вертикальная ось Y. Каждая точка на плоскости описывается парой чисел (x, y), где x — это расстояние от вертикальной оси, а y — расстояние от горизонтальной оси. Например, точка (3, 2) находится на 3 единицы вправо от оси Y и на 2 единицы вверх от оси X. Важно отметить, что координаты могут быть как положительными, так и отрицательными, что позволяет охватить всю плоскость.

В трехмерной декартовой системе координат добавляется третья ось — Z, которая перпендикулярна к осям X и Y. Таким образом, каждая точка в пространстве теперь описывается тройкой чисел (x, y, z). Например, точка (1, -2, 3) находится на 1 единицу вправо от оси Y, на 2 единицы вниз от оси X и на 3 единицы выше плоскости XY. Эта система координат является основой для многих областей математики, физики и инженерии.

Теперь давайте рассмотрим, как вычисляется длина отрезка в декартовой системе координат. Длина отрезка — это расстояние между двумя точками, и для ее вычисления мы можем использовать теорему Пифагора. Если у нас есть две точки A (x1, y1) и B (x2, y2) на плоскости, длина отрезка AB обозначается как d и вычисляется по формуле:

• d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²).

Эта формула основана на принципе, что длина отрезка может быть представлена как гипотенуза прямоугольного треугольника, где разности координат x и y служат катетами. Если мы, например, имеем точки A (1, 2) и B (4, 6), то длина отрезка AB будет равна:

• d = √((4 - 1)² + (6 - 2)²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Таким образом, длина отрезка между точками A и B составляет 5 единиц.

В трехмерной декартовой системе координат длина отрезка между двумя точками A (x1, y1, z1) и B (x2, y2, z2) вычисляется аналогично, но с добавлением третьей координаты:

• d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²).

Например, если у нас есть точки A (1, 2, 3) и B (4, 6, 8), длина отрезка AB будет равна:

• d = √((4 - 1)² + (6 - 2)² + (8 - 3)²) = √(3² + 4² + 5²) = √(9 + 16 + 25) = √50.

Таким образом, длина отрезка между точками A и B в трехмерном пространстве составляет √50, что приблизительно равно 7.07 единиц.

Важно отметить, что декартова система координат не только позволяет удобно описывать геометрические фигуры и вычислять расстояния, но и служит основой для различных приложений в науке и технике. Например, в физике эта система используется для описания движения объектов, в компьютерной графике — для создания трехмерных моделей, а в инженерии — для проектирования различных конструкций. Понимание декартовой системы координат и умение работать с ней открывает широкий спектр возможностей для анализа и решения практических задач.

В заключение, Декартова система координат и вычисление длины отрезка — это фундаментальные концепции, которые лежат в основе многих математических и научных дисциплин. Освоение этих понятий позволяет не только решать задачи, но и развивать пространственное мышление, что является важным навыком в современном мире. Надеюсь, что данное объяснение помогло вам лучше понять эту тему и ее практическое применение.