Ромб. Свойства ромба

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб является частным случаем параллелограмма.

Для того чтобы понять свойства ромба, необходимо вспомнить основные определения и теоремы, связанные с параллелограммом:

• Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
• Свойства параллелограмма:
  • Противоположные стороны параллелограмма равны.
  • Противоположные углы параллелограмма равны.
  • Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Теперь рассмотрим свойства ромба:

1. Все стороны ромба равны. Это свойство следует из определения ромба.
2. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Пусть $ABCD$ — ромб, $AC$ и $BD$ — его диагонали. Поскольку ромб является параллелограммом, то его диагонали делятся пополам в точке пересечения. Значит, отрезки $AO$ и $OC$ являются медианами треугольника $ABC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB = BC$), то медиана $AO$ является также высотой. Следовательно, $\angle AOB = 90^{\circ}$.
3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Пусть $ABCD$ — ромб. Рассмотрим треугольник $AOB$. Сторона $AB$ этого треугольника равна стороне ромба, а значит, треугольник $AOB$ равнобедренный. По свойству равнобедренного треугольника, его биссектриса $AO$ также является высотой и медианой. Следовательно, диагональ $AC$ ромба будет являться биссектрисой угла $BAD$. Аналогично можно доказать, что диагональ $BD$ будет также являться биссектрисой угла $BCD$.
4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на четыре. Пусть $ABCD$ — ромб со стороной $a$ и диагоналями $d{1}$ и $d{2}$. Тогда $AB = AD = DC = CB = a$. Треугольник $AOD$ прямоугольный, так как по свойству ромба его диагонали пересекаются под прямым углом. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, поэтому $AD^{2} = AO^{2} + OD^{2}$, но $AO = \frac{d{1}}{2}$ и $OD = \frac{d{2}}{2}$, следовательно, $AD^{2} = (\frac{d{1}}{2})^{2} + (\frac{d{2}}{2})^{2}$. Отсюда получаем, что $a^{2} = (\frac{d{1}}{2})^{2} + (\frac{d{2}}{2})^{2}$, или $a^{2} = \frac{1}{4}(d{1}^{2} + d{2}^{2})$.

Таким образом, ромб обладает следующими свойствами:

• Все стороны ромба равны.
• Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами углов ромба.
• Сумма квадратов диагоналей ромба равна квадрату его стороны, умноженному на 4.

Эти свойства позволяют легко распознавать ромбы среди других четырёхугольников и применять их при решении задач.

Рассмотрим несколько примеров задач на тему «Ромб».

Задача 1. Дан ромб $ABCD$, диагонали которого равны 6 см и 8 см. Найти сторону ромба.Решение:По свойству ромба сумма квадратов его диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4, т. е. $4a^{2}=d{1}^{2}+d{2}^{2}$. Подставляя известные значения, получаем: $4a^{2}=36+64=100$, откуда $a=\sqrt{25}=5$ (см). Ответ: сторона ромба равна 5 см.

Задача 2. В ромбе $ABCD$ проведена диагональ $AC$. Известно, что угол $BAC$ равен 30°. Найти углы ромба.Решение:Поскольку диагонали ромба являются его биссектрисами, то угол $BAD$ равен $2\cdot30°=60°$. Поскольку сумма соседних углов параллелограмма равна $180°$, то угол $ADC$ равен $180°–60°=120°$. Ответ: углы ромба равны $60°, 120°, 60°, 120°$.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое ромб?
2. Какими свойствами обладает ромб?
3. Как найти сторону ромба по