Вписанные и центральные углы В геометрии существует два вида углов, связанных с окружностью: вписанные углы и центральные углы. Они имеют разные свойства и характеристики, которые важно понимать для решения задач и изучения геометрических фигур. Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Это означает, что если дуга содержит $n$ градусов, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу, будет равен $\frac{n}{2}$ градусов. Например, если вписанный угол опирается на дугу в 120 градусов, его величина будет равна $\frac{120}{2} = 60$ градусов. Свойства вписанных углов: Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги. Вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой, так как он опирается на половину окружности. Половина окружности содержит 180 градусов, поэтому половина этой дуги содержит 90 градусов. Если вписанный и центральный углы опираются на одну и ту же дугу окружности, то вписанный угол равен половине центрального угла. Для решения задач с вписанными углами можно использовать следующие формулы: Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, который опирается на ту же дугу. Сумма противоположных вписанных углов равна 180 градусам. Рассмотрим пример задачи: Дано: $AB$ — диаметр окружности с центром в точке $O$, $AC$ и $BD$ — хорды окружности. Угол $AOB$ равен 40°. Найти величину угла $ACB$. Решение: Так как $AB$ является диаметром окружности, угол $AOB$ является центральным углом. Тогда угол $ACB$ является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу $AB$, что и угол $AOB$. Следовательно, величина угла $ACB$ равна половине величины угла $AOB$, то есть $20°$. Ответ: 20°. Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны проходят через две точки на окружности. Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается. Пример: если центральный угол содержит $n$ градусов, соответствующая ему дуга также содержит $n$ градусов. Свойства центральных углов: Все центральные углы, опирающиеся на один и тот же отрезок, соединяющий две точки окружности, равны. Центральный угол всегда не превышает $360°$. Два взаимно дополнительных центральных угла образуют развёрнутый угол. Формулы для решения задач: Величина центрального угла равна величине соответствующей дуги. Градусная мера центрального угла в два раза больше градусной меры соответствующего вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Рассмотрим ещё один пример задачи: Дан центральный угол $AOC$, равный $75°$. Найти соответствующий ему вписанный угол $ABC$. Решение: Поскольку $AOC$ — центральный угол, соответствующий ему вписанный угол $ABC$ опирается на ту же дугу и равен её половине. Значит, $ABC = \frac{75}{2} = 37,5°$. Ответ: $37,5°$. Таким образом, вписанные и центральные углы являются важными понятиями в геометрии, связанными с окружностями. Их свойства и формулы позволяют решать различные задачи и изучать геометрические фигуры.