Тема: «Площадь круга, описанного около прямоугольного треугольника» Цель: изучить формулу для вычисления площади круга, описанного около прямоугольного треугольника. Задачи: рассмотреть понятие окружности, описанной около прямоугольного треугольника; вывести формулу площади круга через катеты прямоугольного треугольника и гипотенузу; научиться применять формулу на практике. В геометрии существует множество задач, связанных с прямоугольным треугольником. Одна из них — нахождение площади круга, который описан около этого треугольника. Для решения этой задачи необходимо знать некоторые свойства прямоугольного треугольника и формулы для нахождения его элементов. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠C = 90°. Опишем вокруг него окружность так, чтобы все вершины треугольника лежали на окружности. Тогда отрезок BC будет являться диаметром окружности. Для того чтобы найти площадь круга, необходимо знать длину диаметра. В данном случае диаметр равен длине катета BC. Также нам понадобится длина гипотенузы AB. Эти данные позволят нам вычислить радиус окружности по формуле: R = AB / 2. Теперь мы можем найти площадь круга по формуле: S = π R^2, где S — площадь круга, R — радиус окружности, а π ≈ 3,14. Таким образом, формула для вычисления площади круга, описанного около прямоугольного треугольника, выглядит следующим образом: S = (AB^2 π) / 4. Пример: Пусть дан прямоугольный треугольник со сторонами a = 6 см, b = 8 см и c = 10 см. Необходимо найти площадь круга, описанного около этого треугольника. Решение: Найдём гипотенузу по теореме Пифагора: c^2 = a^2 + b^2; 10^2 = 6^2 + 8^2; 100 = 36 + 64; 100 = 100. Значит, гипотенуза равна 10 см. Вычислим радиус окружности: R = c / 2 = 10 / 2 = 5 см. Подставим значения в формулу: S = (10^2 3,14) / 4 = 78,5 см². Ответ: площадь круга равна 78,5 квадратных сантиметров. Вопросы для закрепления материала: 1. Что такое окружность, описанная около прямоугольного треугольника? 2. Как найти радиус окружности, если известен диаметр? 3. По какой формуле можно вычислить площадь круга? 4. Как применить эту формулу к прямоугольному треугольнику? 5. Какие данные необходимы для нахождения площади круга? Дополнительные задания: 1. Дан прямоугольный треугольник с катетами a = 4 см и b = 3 см. Найдите площадь круга, описанного около него. 2. Решите задачу, изменив условие: найдите площадь круга, если гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см, а один из катетов — 3 см.