Углы равнобедренной трапеции Равнобедренная трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — не параллельны. Эти непараллельные стороны называются основаниями трапеции. Равнобедренной трапецией называется такая трапеция, в которой длина боковых сторон одинакова. В равнобедренной трапеции есть два особых угла: угол при основании — угол, образованный боковой стороной и основанием; острый угол — любой из двух углов, отличных от тупых углов при основаниях. Свойства углов равнобедренной трапеции: 1. Углы при каждом из оснований равны. Это следует из равенства противолежащих сторон. 2. Сумма углов, прилегающих к боковой стороне, равна 180°. Это свойство характерно для всех четырёхугольников. 3. Диагональ разбивает равнобедренную трапецию на два треугольника. Следовательно, сумма углов каждого треугольника равна 180°, значит, углы при основании равнобедренной трапеции в сумме составляют 90°. 4. В равнобедренной трапеции сумма углов, прилежащих к любому из оснований, равна 90° + α, где α — острый угол трапеции. 5. Так как основания параллельны друг другу, то сумма углов трапеции, прилегающих к одной боковой стороне, составляет 180°. Следовательно, каждый из углов при боковой стороне также равен 90° + α/2. Пример задачи Дано: ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC. AD = 2BC. ∠BAD = 60°. Найти все углы трапеции. Решение: Так как AD = 2BC, то BC является высотой трапеции. Проведём высоту BH. Получим прямоугольный треугольник ABH, в котором AH = AD – BC = BC, следовательно, треугольник равнобедренный, и ∠ABH = ∠BAH = 60°. Тогда ∠AHD = 90°, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне CD, равна 180°. Значит, ∠D = 180° – ∠CDA = 120°. Сумма углов, прилежащих к основанию AD, равна ∠BAD + ∠ADC = 60° + ∠ADC. С другой стороны, эта сумма равна 90° + α. Приравняем эти выражения и получим, что ∠ADC = 30°. Ответ: ∠ABC = ∠BCD = ∠BAD = 60°, ∠ADB = 90°, ∠BDC = ∠ACD = 30°, ∠DCB = ∠DAC = 120°. Вопросы для закрепления материала: 1. Какие углы есть в равнобедренной трапеции? 2. Какими свойствами обладают углы равнобедренной трапеции? 3. Как найти углы равнобедренной трапеции, если известны длины её оснований и один из углов? 4. Можно ли найти углы равнобедренной трапеции по длинам её диагоналей и боковых сторон?