Делители и кратные

В математике делителем натурального числа a называют число, на которое a делится без остатка. Кратным натуральному числу a называют такое натуральное число b, которое делится на a без остатка.

Делитель — это число, которое делит другое число без остатка. Например, 2 является делителем числа 6, так как 6 делится на 2 без остатка:6 : 2 = 3.

Если число a делится на число b без остатка, то число b является делителем числа a.

Каждое число имеет бесконечное количество делителей. Среди них есть наибольший общий делитель (НОД), который можно найти у двух и более чисел. НОД — это наибольшее число, на которое делятся без остатка каждое из этих чисел.

Например, для чисел 12 и 18 НОД равен 4. Это наибольшее число, на которое без остатка делятся 12 и 18.

Чтобы найти НОД нескольких чисел, нужно:

• разложить эти числа на простые множители;
• выбрать одинаковые множители с наименьшим показателем степени;
• перемножить выбранные множители.

Также среди делителей есть наименьшее общее кратное (НОК), которое также можно найти у нескольких чисел. НОК — это наименьшее число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел.

Для чисел 5 и 7 НОК равно 35. Это наименьшее число, которое без остатка делится и на 5, и на 7.

Чтобы вычислить НОК нескольких чисел, необходимо:

• выписать в строчку все простые числа, которые входят хотя бы в одно из чисел;
• каждое из исходных чисел разложить на записанные ранее простые множители;
• взять каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножить их между собой.

Рассмотрим примеры нахождения НОД и НОК.

Пример 1. Найти НОД чисел 9 и 12.

Разложим числа на простые множители:9 = 1 3 3;12 = 1 2 2 * 3.

Выберем одинаковые простые множители в обоих числах. В нашем случае это 3. Возьмём этот множитель с меньшим показателем степени, то есть 3, и перемножим его. Получим 9. Значит, НОД(9, 12) = 3.

Ответ: НОД(9, 12) = 3.

Пример 2. Найти НОК чисел 8 и 15.

Сначала разложим числа на простые множители:8 = 1 2 2 2;15 = 1 3 * 5.

Теперь выпишем все простые множители, входящие хотя бы в одно число. У нас это 1, 2, 3 и 5. Теперь возьмём каждый из простых множителей с наибольшим показателем степени. В данном случае это будут 2, 3 и 5. Перемножим их: 2 3 5 = 30. Следовательно, НОК(8, 15) = 30.

Ответ: НОК(8, 15) = 30.

Важно понимать, что делители и кратные играют важную роль в математике. Они помогают решать задачи, связанные с делимостью чисел и их свойствами.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое делитель?
2. Какое число называют кратным?
3. Как найти наибольший общий делитель нескольких чисел?
4. Как вычислить наименьшее общее кратное нескольких чисел?