Тема: «Наименьшее общее кратное»

Введение

В математике существует множество понятий и теорем, которые помогают решать задачи и упрощать вычисления. Одним из таких понятий является наименьшее общее кратное (НОК). В этой статье мы рассмотрим, что такое НОК, как его найти и где оно применяется.

Определение

Наименьшее общее кратное двух или более чисел — это наименьшее число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Например, НОК чисел 4 и 6 равно 12, так как 12 делится на 4 и на 6 без остатка.

Чтобы найти НОК нескольких чисел, можно использовать несколько методов. Рассмотрим некоторые из них.

1. Метод разложения на простые множители. Этот метод заключается в том, чтобы разложить каждое число на простые множители, а затем выбрать общие множители с наибольшим показателем степени. Например, найдём НОК чисел 8 и 12:

   • 8 = 2 2 2;
   • 12 = 2 2 3.Общие множители — 2 и 2. Наибольший показатель степени у общего множителя — 2. Значит, НОК(8, 12) = 2² 3 = 4 3 = 12.

2. Использование таблицы простых чисел. Этот метод подходит для нахождения НОК небольших чисел. Он заключается в том, чтобы выписать все простые числа от 2 до большего из данных чисел и выбрать те, которые входят в разложение каждого числа. Затем перемножить выбранные числа. Например, найдём НОК чисел 5 и 7:

   • Простые числа от 2 до 7: 2, 3, 5, 7.
   • Разложение числа 5: 5.
   • Разложение числа 7: 7.Выбираем числа 5 и 7, так как они входят в разложение обоих чисел. Перемножаем их: НОК(5, 7) = 5 * 7 = 35.

3. Алгоритм Евклида. Этот метод основан на алгоритме Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел. Алгоритм Евклида заключается в последовательном делении большего числа на меньшее с остатком. Остаток заменяется на делитель, и процесс повторяется. Когда остаток равен нулю, то последний делитель и есть наибольший общий делитель. Чтобы найти НОК по алгоритму Евклида, нужно взять произведение последнего делителя и двух исходных чисел. Например, найдём НОК чисел 10 и 9:

   • НОД(10, 9) = 1, значит, НОК = 1 10 9 = 90.

НОК имеет множество применений в математике и других науках. Вот некоторые примеры:

• Решение задач на проценты. Если известно, какое количество процентов составляет каждое число от общего количества, то можно найти НОК этих чисел и вычислить, сколько процентов составляет НОК от общего количества.
• Деление на равные части. Если нужно разделить некоторое количество предметов на равные части, то можно сначала найти НОК количеств предметов в каждой части. Тогда каждая часть будет содержать одинаковое количество предметов.
• Теория чисел. НОК используется в теории чисел для решения различных задач.

Вот несколько вопросов, которые можно задать учащимся после изучения темы «Наименьшее общее кратное»:

• Что такое наименьшее общее кратное?
• Как найти наименьшее общее красное двух или более чисел?
• Где применяется наименьшее общее кратное?

Примеры задач, которые можно предложить учащимся для закрепления материала:

1. Найдите НОК чисел 24 и 36.
2. Сколько коробок конфет можно купить, если есть 150 рублей, а коробка стоит 30 рублей?
3. На сколько равных частей можно разделить 18 яблок?

Решение задач:

1. Разложим числа 24 и 36 на простые множители:

   • 24 = 2 2 2 * 3;
   • 36 = 2 2 3 3.Общими множителями являются 2, 2 и 3. Наибольший показатель степени у общих множителей — 2. Значит, НОК(24, 36) = 2² 3² = 4 * 9 = 36. Ответ: 36.

2. Стоимость одной коробки конфет составляет 30 рублей. У нас есть 150 рублей. Нужно найти, сколько коробок можно купить. Для этого найдём НОК чисел 30 и 150:

   • 30 = 2 3 5;
   • 150 = 2 3 5 5.Общими множителями являются 2, 3 и 5. Наибольший показатель степени у общих множителей — 5. Значит, НОК(30, 150) = 2 3 * 5⁵ = 300. Так как стоимость одной коробки 30 рублей, то мы можем купить 300 / 30 = 10 коробок. Ответ: 10.

3. Разделим 18 на НОК чисел 1 и 2:

   • НОК(1, 2) = 2.Значит, 18 можно разделить на две равные части по 9 предметов в каждой. Ответ: на две части.