Окружность

Определение окружности

Окружностью называется геометрическая фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой центром окружности. Расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом окружности.

Для построения окружности необходимо задать центр окружности и её радиус. Центр окружности обозначается точкой O, а радиус окружности — отрезком OA.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Диаметр окружности равен двум радиусам.

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

Уравнение окружности

Уравнение окружности с центром в точке (a; b) и радиусом R имеет вид:(x – a)2 + (y – b)2 = R2.

Это уравнение является уравнением второй степени относительно переменных x и y. Оно описывает все точки плоскости, которые находятся на расстоянии R от точки (a; b).

Если центр окружности находится в начале координат, то уравнение окружности имеет вид:x2 + y2 = R2.

Пример: найти координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением:(x + 3)2 + (y – 4)2 = 25.Решение: данное уравнение можно переписать в виде:x2 + 6x + 9 + y2 – 8y + 16 = 25,или(x2 + 6x + 9) + (y2 – 8y + 16) = 25 – 9 – 16,или(x + 3)2 + (y – 4)2 = 0.Таким образом, координаты центра окружности (–3; 4), а её радиус равен 5.

Длина окружности и площадь круга

Длина окружности вычисляется по формуле:L = 2πR,где L — длина окружности, R — радиус окружности, π ≈ 3,14.Площадь круга вычисляется по формуле:S = πR2,где S — площадь круга, R — радиус круга.

Примеры:

1. Найти длину окружности радиуса 5 см.Решение: подставляя значение радиуса в формулу, получаем:L = 2 3,14 5 ≈ 31,4 см.
2. Найти площадь круга радиуса 7 см.Решение: подставляя значение радиуса в формулу, получаем:S = 3,14 * (7)2 ≈ 153,86 см2.

Эти формулы используются для решения различных задач, связанных с окружностями и кругами. Например, можно вычислить периметр или площадь фигуры, ограниченной окружностью или кругом, или найти расстояние между двумя точками, лежащими на окружности или круге.

Также стоит отметить, что окружность является частным случаем эллипса, у которого эксцентриситет равен нулю. Это означает, что все фокусы эллипса совпадают с его центром.

В заключение можно сказать, что изучение окружности является важным этапом в изучении геометрии. Окружность широко используется в различных областях науки и техники, таких как архитектура, машиностроение, картография и т. д. Знание формул для вычисления длины окружности и площади круга позволяет решать множество практических задач.