Четырёхугольники: основные понятия и свойства

Четырёхугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин), не лежащих на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки.

Существует множество видов четырёхугольников, каждый из которых обладает своими уникальными свойствами. В этом учебном материале мы рассмотрим основные виды четырёхугольников и их свойства.

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Свойства параллелограмма:

• Противоположные стороны равны.
• Противоположные углы равны.
• Диагонали делятся пополам точкой пересечения.
• Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон.

Пример: ABCD — параллелограмм. Тогда AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D, AC и BD пересекаются в точке O, AO = OC, BO = OD.

Решение: чтобы доказать, что ABCD является параллелограммом, нужно показать, что AB || CD и AD || BC. Для этого можно использовать свойство равенства противоположных сторон или равенство противоположных углов.

Задачи:

1. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами A(3; 2), B(4; 4), C(5; 1) и D(6; 0) является параллелограммом.
2. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AB = 8 см, а AD = 6 см.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Свойства прямоугольника:

• Все углы равны 90°.
• Диагонали равны.

Пример: прямоугольник ABCD. Тогда ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°, AC = BD.

Решение: для доказательства того, что ABCD является прямоугольником, достаточно показать, что один из его углов равен 90° или что диагонали равны.

Задачи:

1. Найдите диагональ прямоугольника ABCD со сторонами AB = 3 см и BC = 4 см.
2. Докажите, что четырёхугольник ABCD с углами 90°, 90°, 120° и 60° не является прямоугольником.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Свойства ромба:

• Все стороны равны.
• Диагонали взаимно перпендикулярны.
• Диагонали делят углы пополам.

Пример: ромб ABCD. Тогда AB = BC = CD = AD, AC ⊥ BD, ∠ABO = ∠OBC = ∠ODC = ∠ADC.

Решение: для доказательства того, что ABCD является ромбом, достаточно показать, что все его стороны равны или что его диагонали взаимно перпендикулярны.

Задачи:

1. На стороне BC ромба ABCD взята точка M так, что BM = MD. Докажите, что AM — биссектриса угла BAD.
2. Дан ромб ABCD с острым углом A. Из вершины B проведён луч, который пересекает сторону AD в точке E. Известно, что BE = ED. Докажите, что AE — биссектриса угла BAC.

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.

Пример: квадрат ABCD. Тогда ABCD — прямоугольник (все углы равны 90°) и ABCD — ромб (все стороны равны).

Решение: для доказательства того, что ABCD является квадратом, достаточно показать, что он является одновременно прямоугольником и ромбом.

Задачи:

1. Периметр квадрата ABCD равен 16 см. Чему равна его сторона?
2. Диагональ квадрата равна 6 м. Чему равен периметр этого квадрата?

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет. Трапеции бывают равнобедренные (боковые стороны равны) и прямоугольные (одна боковая сторона перпендикулярна основаниям).

Свойства трапеции:

• Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен полуразности оснований.

Пример: трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Тогда AD || BC, AB и CD — боковые стороны, ∠BAD + ∠ABC = 180°.

Решение: для доказательства того, что ABCD является трапецией, достаточно показать, что AD || BC и что есть две непараллельные стороны.

Задачи:

1. Основания трапеции равны 6 и 10 см, высота — 8 см. Найдите площадь трапеции.
2. Средняя линия трапеции равна 7 см, одно из оснований больше другого на 4 см. Найдите основания трапеции.

В заключение стоит отметить, что знание свойств четырёхугольников может быть полезно при решении различных задач по математике и информатике. Например, при построении графиков функций, анализе геометрических фигур, разработке алгоритмов и т. д.