Тема: Действия с приближёнными числами

Введение

В математике и информатике часто приходится работать с приближёнными значениями чисел. Это связано с тем, что в процессе вычислений или измерений невозможно получить абсолютно точное значение. В этом случае используются приближённые значения, которые имеют определённую погрешность.

Погрешность — это разность между истинным значением числа и его приближённым значением. Погрешность может быть абсолютной и относительной. Абсолютная погрешность показывает, насколько близко приближённое значение к истинному значению. Относительная погрешность показывает, какую долю составляет абсолютная погрешность от истинного значения.

Цель работы: Изучить основные методы действий с приближёнными числами и научиться оценивать погрешность результатов вычислений.

Задачи работы:

1. Изучить понятия абсолютной и относительной погрешности.
2. Рассмотреть основные методы действий с приближёнными числами.
3. Научиться оценивать погрешность результатов вычислений.
4. Применить полученные знания на практике.

Основные понятия и определения

Приближённое число — это число, которое отличается от точного значения на некоторую величину, называемую погрешностью.Абсолютная погрешность — это модуль разности между точным значением числа и его приближённым значением:Δa = |a — a|,где a — точное значение числа, a — приближённое значение числа, Δa — абсолютная погрешность.Относительная погрешность — это отношение абсолютной погрешности к точному значению числа:δ = Δa / a.Относительная погрешность выражается в процентах.

Пример:Пусть точное значение числа a = 5, а приближённое значение a* = 4,8. Тогда абсолютная погрешность Δa = |5 — 4,8| = 0,2, а относительная погрешность δ = 0,2 / 5 = 0,04 или 4 %.

Абсолютная и относительная погрешности используются для оценки точности результатов вычислений. Чем меньше погрешность, тем точнее результат.

Методы действий с приближёнными числами

При выполнении арифметических операций с приближёнными числами необходимо учитывать их погрешности. Для этого используются следующие методы:

1. Сложение и вычитание. Абсолютная погрешность суммы или разности приближённых чисел равна сумме абсолютных погрешностей этих чисел:Δ(a ± b) = Δa + Δb.Например, если a = 2,3 ± 0,1 и b = 1,5 ± 0,1, то абсолютная погрешность суммы a + b равна Δ(a + b) = 0,1 + 0,1 = 0,2.

2. Умножение и деление. Абсолютная погрешность произведения или частного приближённых чисел равна произведению абсолютных погрешностей этих чисел:Δab = |a Δb + b Δa|илиΔ(ab) = |a| Δb + |b| Δa.Например, если a = 3,4 ± 0,1 и b = 2,5 ± 0,1, то относительная погрешность произведения ab равна δ(ab) = (|3,4| 0,1 + |2,5| 0,1) / (3,4 * 2,5) ≈ 0,028 или 2,8 %.

3. Возведение в степень. Абсолютная погрешность степени приближённого числа равна произведению абсолютной погрешности этого числа на показатель степени:Δan = n Δa,где n — показатель степени.Например, если а = 2,4 ± 0,1, то абсолютная погрешность степени a² равна Δa² = 2 0,1 = 0,2.

4. Извлечение корня. Абсолютная погрешность корня приближённого числа равна абсолютной погрешности этого числа, делённой на показатель корня:Δ√a = Δa / √n,где √n — показатель корня.Например, если a = 9,6 ± 0,3, то абсолютная погрешность корня √a равна Δ√a = 0,3 / √9 ≈ 0,33.

Эти методы позволяют оценить погрешность результатов вычислений и сделать выводы о точности полученных результатов.

Оценка погрешности результатов вычислений

Для оценки погрешности результатов вычислений необходимо учитывать следующие факторы:

• точность исходных данных;
• методы действий с приближёнными числами;
• количество операций.

Чем больше операций выполняется с приближёнными числами, тем больше может быть погрешность результата. Поэтому важно выбирать методы действий, которые позволяют минимизировать погрешность.

Оценка погрешности результатов вычислений проводится в несколько этапов:

1. Определение абсолютной погрешности исходных данных.
2. Выбор метода действий с приближёнными числами.
3. Оценка абсолютной погрешности результата.
4. Оценка относительной погрешности результата.

Примеры:

1. Пусть требуется вычислить сумму двух чисел a = 3,5 и b = 4,2 с точностью до сотых. Точное значение суммы равно 7,7. Абсолютная погрешность исходных данных равна 0,05.Тогда абсолютная погрешность суммы равна Δ(a + b) = 0,05 + 0,05 = 0,1. Относительная погрешность суммы равна δ = 0,1 / 7,7 ≈ 0,013 или 1,3 %.
2. Пусть требуется вычислить произведение двух чисел a = 12,3 и b = 5,6 с точностью до десятых. Точное значение произведения равно 69,28. Абсолютная погрешность исходных данных равна 0,5.Тогда относительная погрешность произведения равна δ = (|12,3| 0,5 + |5,6| 0,5) / 69,28 ≈ 0,034 или 3,4 %.
3. Пусть требуется вычислить значение выражения 2a²b³, где a = 4,3 ± 0,1, b = 3,2 ± 0,1 с точностью до целых. Точное значение выражения равно 277,2. Абсолютная погрешность исходных данных равна 0,2 для a и 0,2 для b.Тогда абсолютная погрешность выражения равна Δ2a²b³ = 2 (4 0,2 + 3 0,2) = 2 0,4 = 0,8. Относительная погрешность выражения равна δ = 0,8 / 277,2 ≈ 0,003 или 0,3 %.

Заключение

Действия с приближёнными числами являются важным элементом математики и информатики. Они позволяют получать результаты с определённой погрешностью, которая зависит от точности исходных данных, методов действий и количества операций. Оценка погрешности результатов вычислений позволяет сделать выводы о точности полученных результатов и принять решение о необходимости дополнительных вычислений.