Область значений функции
Определение: Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает зависимая переменная.
Для того чтобы найти область значений функции, необходимо:
- Определить множество значений независимой переменной (область определения).
- Найти все значения зависимой переменной при каждом значении независимой переменной из области определения.
- Записать полученные значения в виде множества. Это и будет областью значений функции.
Рассмотрим несколько примеров нахождения области значений функций.
Пример 1. Найдём область значений линейной функции y = x + 5.
Решение:
- Область определения данной функции — множество всех действительных чисел D(y) = R.
- Найдём все значения функции при любом значении аргумента. Например, если x = 0, то y = 0 + 5 = 5; если x = -3, то y = -3 + 5 = 2 и т. д.
- Таким образом, область значений данной функции E(y) = {y | y ∈ R}.
Ответ: E(y) = R.
Пример 2. Найдём область значений квадратичной функции y = x² – 4.
Решение:
- Определим область определения функции. Так как функция задана на множестве всех действительных чисел, то D(y) = R.
- Найдём наибольшее и наименьшее значение функции на области определения. Для этого найдём нули производной функции: y' = 2x. Приравняем производную к нулю: 2х = 0. Отсюда х = 0 — критическая точка. Подставим значение х в функцию: у = 0² – 4 = –4. Получили наименьшее значение функции. Других критических точек нет, так как область определения — всё множество действительных чисел. Значит, найденное значение является наибольшим.
- Область значений данной функции: E(y) = [-4; +∞).
Ответ: E(y) = [-4; +∞).
Пример 3. Найдём область значений функции y = √x.
Решение:
- Функция определена при неотрицательных значениях аргумента, поэтому D(y) = [0; +∞).
- Наибольшего и наименьшего значения у функции нет.
- Множество значений функции: E(y) = [0; +∞).
Ответ: E(y) = [0; +∞).
Теперь рассмотрим несколько заданий для закрепления материала.
Задание 1. Найдите область значений функции у = 3х – 5.
Решение.
- Данная функция определена на всём множестве действительных чисел: D(у) = R.
- Найдём значения функции при любых значениях аргумента. Если х = 0, то у = 3·0 – 5 = –5. Если х = –1, то у = 3·(–1) – 5 = –8 и т.д.
- Все значения функции находятся в промежутке от –8 до +∞, следовательно, E(у) = [–8; +∞).
Ответ. E(у) = [–8; +∞).
Задание 2. Найдите область значений функции у = х² + 4х – 7.
Решение.
- D(у): х — любое число.
- Нули функции: у = (х + 7)(х – 1). Критические точки: х = –7 и х = 1.
- Ответ: Е(у) = [–12; +∞).
Нахождение области значений функции может быть полезным инструментом для анализа и понимания поведения функции. Оно помогает определить, какие значения может принимать функция, что важно для решения различных задач.