Область значений функции

Определение: Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает зависимая переменная.

Для того чтобы найти область значений функции, необходимо:

1. Определить множество значений независимой переменной (область определения).
2. Найти все значения зависимой переменной при каждом значении независимой переменной из области определения.
3. Записать полученные значения в виде множества. Это и будет областью значений функции.

Рассмотрим несколько примеров нахождения области значений функций.

Пример 1. Найдём область значений линейной функции y = x + 5.

Решение:

1. Область определения данной функции — множество всех действительных чисел D(y) = R.
2. Найдём все значения функции при любом значении аргумента. Например, если x = 0, то y = 0 + 5 = 5; если x = -3, то y = -3 + 5 = 2 и т. д.
3. Таким образом, область значений данной функции E(y) = {y | y ∈ R}.

Ответ: E(y) = R.

Пример 2. Найдём область значений квадратичной функции y = x² – 4.

Решение:

1. Определим область определения функции. Так как функция задана на множестве всех действительных чисел, то D(y) = R.
2. Найдём наибольшее и наименьшее значение функции на области определения. Для этого найдём нули производной функции: y' = 2x. Приравняем производную к нулю: 2х = 0. Отсюда х = 0 — критическая точка. Подставим значение х в функцию: у = 0² – 4 = –4. Получили наименьшее значение функции. Других критических точек нет, так как область определения — всё множество действительных чисел. Значит, найденное значение является наибольшим.
3. Область значений данной функции: E(y) = [-4; +∞).

Ответ: E(y) = [-4; +∞).

Пример 3. Найдём область значений функции y = √x.

Решение:

1. Функция определена при неотрицательных значениях аргумента, поэтому D(y) = [0; +∞).
2. Наибольшего и наименьшего значения у функции нет.
3. Множество значений функции: E(y) = [0; +∞).

Ответ: E(y) = [0; +∞).

Теперь рассмотрим несколько заданий для закрепления материала.

Задание 1. Найдите область значений функции у = 3х – 5.

Решение.

1. Данная функция определена на всём множестве действительных чисел: D(у) = R.
2. Найдём значения функции при любых значениях аргумента. Если х = 0, то у = 3·0 – 5 = –5. Если х = –1, то у = 3·(–1) – 5 = –8 и т.д.
3. Все значения функции находятся в промежутке от –8 до +∞, следовательно, E(у) = [–8; +∞).

Ответ. E(у) = [–8; +∞).

Задание 2. Найдите область значений функции у = х² + 4х – 7.

Решение.

1. D(у): х — любое число.
2. Нули функции: у = (х + 7)(х – 1). Критические точки: х = –7 и х = 1.
3. Ответ: Е(у) = [–12; +∞).

Нахождение области значений функции может быть полезным инструментом для анализа и понимания поведения функции. Оно помогает определить, какие значения может принимать функция, что важно для решения различных задач.