Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции
Цель урока: изучить методы нахождения наименьшего и наибольшего значения функции на заданном промежутке.
Задачи урока:
Ход урока
Учитель начинает урок с краткого введения в тему, объясняя, что такое функция и как она может быть представлена графически. Затем он переходит к обсуждению того, как можно найти наименьшее и наибольшее значение функции.
Функция — это зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Например, если мы рассматриваем функцию y = x^2, то каждому значению x будет соответствовать определённое значение y.
Наименьшим значением функции называется наименьшее из всех её значений на данном промежутке, а наибольшим значением — наибольшее из всех значений. Эти значения могут быть как конечными, так и бесконечными.
Существует несколько способов нахождения наименьшего и наибольшего значений функции:
Рассмотрим несколько примеров решения задач на нахождение наименьшего и наибольшего значений функций.
Пример 1: Найдите наименьшее значение функции f(x) = 3x^2 + 2x – 1 на отрезке [–2; 0].Решение: Найдём производную функции: f'(x) = (3x^2 + 2x – 1)' = 6x + 2. Приравняем её к нулю: 6x + 2 = 0. Отсюда x = –1/3. Проверим, принадлежит ли эта точка заданному отрезку: –2 < –1/3 < 0, значит, x = –1/3 ∈ [–2; 0]. Подставим это значение в исходную функцию: f(–1/3) = 3 (–1/3)^2 + 2 (–1/3) – 1 = –4/9. Это и есть наименьшее значение функции на заданном отрезке. Ответ: –4/9.
Пример 2: Найдите наибольшее значение функции g(x) = x^3 – 3x на отрезке [1; 4].Решение: Найдём производную функции: g'(x) = (x^3 – 3x)' = 3x^2 – 3. Приравняв её к нулю, получим x = ±1. Проверим принадлежность точек заданному отрезку: 1 ≤ 1 ≤ 4, значит, только x = 1 ∈ [1; 4]. Подставив это значение в исходную функцию, найдём её наибольшее значение на заданном отрезке: g(1) = 1^3 – 3 * 1 = –2. Ответ: –2.
Для закрепления материала учитель предлагает ученикам решить несколько задач самостоятельно.
Задача 1: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции h(x) = –x^2 + 8x – 7 на отрезке [3; 5].Задача 2: Постройте график функции k(x) = x^2 – x – 2 и найдите её наименьшее значение.
В конце урока учитель подводит итоги, ещё раз подчёркивая важность умения находить наименьшее и наибольшее значения функций для решения различных задач. Он также отмечает, что эти навыки пригодятся ученикам не только в математике, но и в других областях знаний.
Дополнительные вопросы:
Домашнее задание:Решить задачи на нахождение наименьшего и наибольшего значений функций, используя различные методы.