Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции

Цель урока: изучить методы нахождения наименьшего и наибольшего значения функции на заданном промежутке.

Задачи урока:

• рассмотреть понятие функции;
• изучить способы нахождения наименьшего и наибольшего значений функции;
• научиться применять полученные знания для решения задач.

Ход урока

1. Введение в тему.

Учитель начинает урок с краткого введения в тему, объясняя, что такое функция и как она может быть представлена графически. Затем он переходит к обсуждению того, как можно найти наименьшее и наибольшее значение функции.

2. Определение функции.

Функция — это зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Например, если мы рассматриваем функцию y = x^2, то каждому значению x будет соответствовать определённое значение y.

3. Понятие наименьшего и наибольшего значений.

Наименьшим значением функции называется наименьшее из всех её значений на данном промежутке, а наибольшим значением — наибольшее из всех значений. Эти значения могут быть как конечными, так и бесконечными.

4. Способы нахождения наименьшего и наибольшего значений.

Существует несколько способов нахождения наименьшего и наибольшего значений функции:

• Аналитический метод. Этот метод заключается в том, чтобы найти производную функции и приравнять её к нулю. Корни полученного уравнения будут точками экстремума функции, среди которых нужно выбрать те, которые принадлежат заданному промежутку. В этих точках функция принимает наименьшее или наибольшее значение.
• Графический метод. Для этого метода необходимо построить график функции и определить по нему точки минимума и максимума.
• Метод перебора. Если функция задана таблично, то можно просто перебрать все значения и найти среди них наименьшее и наибольшее.

5. Примеры решения задач.

Рассмотрим несколько примеров решения задач на нахождение наименьшего и наибольшего значений функций.

Пример 1: Найдите наименьшее значение функции f(x) = 3x^2 + 2x – 1 на отрезке [–2; 0].Решение: Найдём производную функции: f'(x) = (3x^2 + 2x – 1)' = 6x + 2. Приравняем её к нулю: 6x + 2 = 0. Отсюда x = –1/3. Проверим, принадлежит ли эта точка заданному отрезку: –2 < –1/3 < 0, значит, x = –1/3 ∈ [–2; 0]. Подставим это значение в исходную функцию: f(–1/3) = 3 (–1/3)^2 + 2 (–1/3) – 1 = –4/9. Это и есть наименьшее значение функции на заданном отрезке. Ответ: –4/9.

Пример 2: Найдите наибольшее значение функции g(x) = x^3 – 3x на отрезке [1; 4].Решение: Найдём производную функции: g'(x) = (x^3 – 3x)' = 3x^2 – 3. Приравняв её к нулю, получим x = ±1. Проверим принадлежность точек заданному отрезку: 1 ≤ 1 ≤ 4, значит, только x = 1 ∈ [1; 4]. Подставив это значение в исходную функцию, найдём её наибольшее значение на заданном отрезке: g(1) = 1^3 – 3 * 1 = –2. Ответ: –2.

6. Закрепление материала.

Для закрепления материала учитель предлагает ученикам решить несколько задач самостоятельно.

Задача 1: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции h(x) = –x^2 + 8x – 7 на отрезке [3; 5].Задача 2: Постройте график функции k(x) = x^2 – x – 2 и найдите её наименьшее значение.

7. Подведение итогов.

В конце урока учитель подводит итоги, ещё раз подчёркивая важность умения находить наименьшее и наибольшее значения функций для решения различных задач. Он также отмечает, что эти навыки пригодятся ученикам не только в математике, но и в других областях знаний.

Дополнительные вопросы:

1. Что такое функция?
2. Как найти наименьшее значение функции?
3. Как найти наибольшее значение функции?
4. Какие существуют способы нахождения наименьшего и наибольшего значений?
5. Приведите примеры задач на нахождение наименьшего и наибольшего значений.

Домашнее задание:Решить задачи на нахождение наименьшего и наибольшего значений функций, используя различные методы.