Модуль числа — это расстояние от начала координат до точки, соответствующей этому числу на числовой прямой. Модуль числа всегда неотрицательный: модуль положительного числа и нуля равен самому числу, а модуль отрицательного — противоположному числу.

Определение модуля числа:

Модуль числа a обозначается как |a| и определяется следующим образом:

• Если a ≥ 0, то |a| = a.
• Если a < 0, то |a| = -a.

Например, |5| = 5, |-3| = -(-3) = 3.

Модуль можно рассматривать как абсолютную величину числа, так как он всегда является положительным или равным нулю.

Геометрический смысл модуля:

На числовой оси модуль числа соответствует расстоянию от нуля до точки, представляющей данное число. Это расстояние всегда положительно или равно нулю, что соответствует определению модуля.

Свойства модуля:

1. Неотрицательность: |a| ≥ 0 для любого a.
2. Абсолютная величина: |a| = |-a|.
3. Противоположные числа имеют равные модули: |−a| = |a|.
4. Модуль произведения: |ab| = |a||b|.
5. Модуль частного: |a/b| = |a| / |b|, если b ≠ 0.
6. Модуль суммы: |a + b| ≤ |a| + |b|. Неравенство превращается в равенство, только если a и b одного знака.
7. Модуль разности: |a − b| = |a + (−b)|.
8. Модуль степени: |an| = |a|n, где n — натуральное число.
9. Корень из модуля: √(|a|) = √(a2) = |a|, где a ≥ 0.

Эти свойства позволяют выполнять различные операции с модулями чисел, упрощать выражения и решать уравнения.

Примеры использования модуля:

1. Найти модуль числа: |3|, |-5|. Ответ: 3, 5.
2. Решить уравнение: |x| = 4. Ответ: x = ±4.
3. Вычислить: |−3 + 7|. Ответ: 4.
4. Сравнить: |5 − 3| и |2 + 4|. Ответ: Первое выражение больше.

Важно понимать, что модуль числа — это его абсолютная величина, которая всегда положительна или равна нулю. Это свойство позволяет использовать модуль при решении различных задач, связанных с числами и координатами на числовой оси.