Вписанные и описанные четырёхугольники

Введение

В геометрии существует множество фигур, которые обладают интересными свойствами и характеристиками. Одной из таких фигур является четырёхугольник. В этой статье мы рассмотрим два типа четырёхугольников: вписанные и описанные.

1. Вписанные четырёхугольники

Четырёхугольник называется вписанным, если все его вершины лежат на окружности. Существует несколько свойств вписанных четырёхугольников, которые делают их интересными для изучения.

• Свойство 1: Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°. Это свойство позволяет легко определить, является ли четырёхугольник вписанным.
• Свойство 2: Диагонали вписанного четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам. Это свойство также может быть использовано для определения вписанного четырёхугольника.
• Свойство 3: Площадь вписанного четырёхугольника можно вычислить по формуле: S = p * r, где p — полупериметр, а r — радиус окружности, на которой лежат вершины четырёхугольника. Это свойство полезно при решении задач на нахождение площади вписанного четырёхугольника.

Рассмотрим пример. Пусть дан четырёхугольник ABCD, в котором AB = 5 см, BC = 6 см, CD = 7 см и AD = 8 см. Необходимо определить, является ли этот четырёхугольник вписанным и найти его площадь.

Решение:

1. Найдём сумму противоположных углов: ∠A + ∠C = 90° и ∠B + ∠D = 180° — 90° = 90°.
2. Сумма противоположных углов равна 180°, значит, четырёхугольник можно вписать в окружность.
3. Найдём полупериметр: p = (AB + BC + CD + AD) / 2 = (5 + 6 + 7 + 8) / 2 = 26 / 2 = 13 см.
4. Найдём площадь: S = 13 * r.

Ответ: Четырёхугольник является вписанным, его площадь равна 13r.

2. Описанные четырёхугольники

Описанным называется четырёхугольник, если все его стороны касаются окружности.

Существует несколько свойств описанных четырёхугольников.

1. Свойство 1: Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.
2. Свойство 2: Сумма квадратов диагоналей описанного четырёхугольника равна сумме квадратов всех его сторон.
3. Свойство 3: Если у описанного четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Эти свойства позволяют решать задачи на нахождение радиуса окружности, описанной вокруг четырёхугольника, а также на нахождение сторон или диагоналей четырёхугольника. Рассмотрим пример.

Пусть дан четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 4 см, BC = 3 см, CD = 5 см и AD = 6 см. Необходимо найти радиус окружности, описанной вокруг этого четырёхугольника.

Решение:

1. Проверим, является ли данный четырёхугольник описанным:AB + CD = BC + AD = 4 + 5 = 3 + 6 = 9.Да, четырёхугольник описан вокруг окружности.
2. Найдём радиус окружности:R = √((AB + CD) / 4) = √(9 / 4) = 3 / 2 см.Ответ: Радиус окружности равен 3 / 2 см.

Таким образом, изучение вписанных и описанных четырёхугольников позволяет расширить знания о свойствах геометрических фигур и применять их для решения задач.

Вопросы для закрепления материала:

1. Что такое вписанный четырёхугольник?
2. Какие свойства вписанных четырёхугольников вы знаете?
3. Как найти площадь вписанного четырёхугольника?
4. Что такое описанный четырёхугольник?
5. Какие свойства описанных четырёхугольников вам известны?
6. Как найти радиус окружности, описанной вокруг четырёхугольника?