Решение линейных неравенств Линейные неравенства — это неравенства, которые содержат одну или несколько переменных и имеют вид: $ax + b > 0$ или $ax + b < 0$, где $a$ и $b$ — некоторые числа, а $x$ — переменная. Для решения линейных неравенств необходимо выполнить следующие шаги: 1. Раскрыть скобки, если они есть. 2. Перенести все слагаемые с переменной в левую часть неравенства, а свободные члены — в правую часть, поменяв при этом знак на противоположный. 3. Привести подобные слагаемые. 4. Разделить обе части неравенства на коэффициент при переменной, если он не равен нулю. При делении на положительное число знак неравенства не меняется, а при делении на отрицательное число — меняется на противоположный. 5. Записать ответ: множество решений неравенства. Пример 1. Решить неравенство $3(x – 2) + 5x > 6$. Решение: 1. Раскроем скобки: $3x – 4 + 5x > 6$. 2. Перенесём все слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую, изменив знаки: $8x > 10$. 3. Приведём подобные слагаемые: $8x = 8 \cdot x = x$. 4. Разделим обе части на $8$: $x > \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$. 5. Ответ: $(\frac{5}{4}; +\infty)$. Обратите внимание, что при решении неравенства мы использовали правило переноса слагаемых из одной части неравенства в другую. Оно гласит: если перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится равносильное неравенство. Это значит, что множества решений исходного и полученного неравенств совпадают. Также стоит отметить, что в процессе решения мы разделили обе части неравенства на положительное число $8$. В результате знак неравенства остался прежним. Если бы мы делили на отрицательное число, знак неравенства изменился бы на противоположный: $x < \frac{10}{-8} = -\frac{5}{4}$, и ответом было бы множество $(-\infty; -\frac{5}{4})$. Пример 2. Решить неравенство $–2x + 7 < 3x – 5$. Решение: 1. Перенесём слагаемые с $x$ влево, а без $x$ вправо: $–5x < –12$. 2. Разделим на $–5$: $x > 2,4$. 3. Ответ: $[2,4; +\infty)$. В этом примере мы также использовали правило переноса и правило деления на число. Однако здесь мы перенесли слагаемые так, чтобы в левой части был только один член с $x$. Это позволило нам сразу разделить обе части на коэффициент перед $x$, который равен $–5$. Важно помнить, что при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число необходимо изменить знак неравенства на противоположный. В противном случае можно получить неверный ответ. Таким образом, решение линейных неравенств сводится к выполнению нескольких простых шагов. Главное — соблюдать порядок действий и обращать внимание на знаки коэффициентов при переменных.