Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, когда известны его периметр и длина гипотенузы, нужно сначала определить длины катетов. Давайте разберем шаги решения этой задачи:

1. Обозначим стороны треугольника: Пусть гипотенуза треугольника равна c = 37 см, а катеты обозначим как a и b.
2. Запишем уравнение для периметра: Периметр треугольника равен сумме его сторон, то есть a + b + c = 84 см. Подставим значение гипотенузы: a + b + 37 = 84.
3. Найдем сумму катетов: Из уравнения a + b + 37 = 84 вычтем 37 из обеих сторон: a + b = 84 - 37 = 47 см.
4. Используем теорему Пифагора: Для прямоугольного треугольника выполняется равенство a² + b² = c². Подставим значение гипотенузы: a² + b² = 37² = 1369.
5. Выразим один из катетов через другой: Из уравнения a + b = 47 выразим b: b = 47 - a.
6. Подставим выражение для b в уравнение Пифагора: a² + (47 - a)² = 1369.
7. Раскроем скобки и упростим уравнение:
   • (47 - a)² = 47² - 2 * 47 * a + a² = 2209 - 94a + a².
   • Подставим в уравнение: a² + 2209 - 94a + a² = 1369.
   • Сложим a²: 2a² - 94a + 2209 = 1369.
   • Перенесем 1369 в левую часть: 2a² - 94a + 2209 - 1369 = 0.
   • Упростим: 2a² - 94a + 840 = 0.
8. Решим квадратное уравнение: Разделим все уравнение на 2: a² - 47a + 420 = 0. Решаем его с помощью дискриминанта.
   • Дискриминант D = 47² - 4 * 1 * 420 = 2209 - 1680 = 529.
   • Корень из дискриминанта: √529 = 23.
   • Найдем корни уравнения: a₁ = (47 + 23) / 2 = 35, a₂ = (47 - 23) / 2 = 12.
9. Находим катеты: a = 35 см и b = 12 см (или наоборот, это не имеет значения, так как они взаимозаменяемы).
10. Вычисляем площадь треугольника: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: S = (a * b) / 2 = (35 * 12) / 2 = 210 см².

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна 210 см².