Как найти целые решения для уравнений? Пожалуйста, объясните подробно, как это сделать, мне очень важно понять. Вот уравнения:

1. a) x^2 + 2xy - 3y^2 = 5
2. b) x^2 - 2x - y^2 = 8
3. в) x^2 - y^2 - 6x = 10

Алгебра 10 класс Уравнения с двумя переменными Новый

Привет! Давай разберем, как находить целые решения для уравнений. Это действительно увлекательный процесс, и я рад, что ты заинтересован в этом! Давай по порядку рассмотрим каждое уравнение.

1. Уравнение a) x^2 + 2xy - 3y^2 = 5

Для начала, давай попробуем выразить одно из переменных через другое. Например, выразим x через y:

1. Перепишем уравнение: x^2 + 2xy - 3y^2 - 5 = 0.
2. Это уравнение можно рассматривать как квадратное относительно x. Применим формулу для дискриминанта:

D = (2y)^2 - 4(1)(-3y^2 - 5) = 4y^2 + 12y^2 + 20 = 16y^2 + 20.

Теперь, чтобы x был целым, D должен быть полным квадратом. Попробуй подставить разные целые значения y и проверяй, является ли D полным квадратом.

2. Уравнение b) x^2 - 2x - y^2 = 8

Здесь также можно выразить x через y:

1. Перепишем уравнение: x^2 - 2x - y^2 - 8 = 0.
2. Опять же, найдем дискриминант: D = (-2)^2 - 4(1)(-y^2 - 8) = 4 + 4y^2 + 32 = 4y^2 + 36.

Здесь также D должен быть полным квадратом. Подставляй разные целые значения y и смотри, что получится.

3. Уравнение в) x^2 - y^2 - 6x = 10

Это уравнение можно немного преобразовать:

1. Перепишем уравнение: x^2 - 6x - y^2 - 10 = 0.
2. Сделаем полный квадрат для x: (x - 3)^2 - 9 - y^2 - 10 = 0.
3. Получаем: (x - 3)^2 - y^2 = 19.

Теперь это уравнение можно рассматривать как разность квадратов:

(x - 3 - y)(x - 3 + y) = 19.

Теперь найди все пары множителей числа 19, например:

• (1, 19)
• (-1, -19)
• (19, 1)
• (-19, -1)

Решая эти пары, ты найдешь целые значения для x и y.

В заключение, для поиска целых решений уравнений важно использовать дискриминант и разложение на множители. Подставляй разные целые значения и проверяй, что получается. Удачи тебе в этом увлекательном путешествии в мир математики!