Как решить уравнение 2cosx-sinx-1=0?

Алгебра 10 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 2cosx - sinx - 1 = 0 тригонометрические функции математические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение 2cos(x) - sin(x) - 1 = 0, давайте следовать пошагово:

1. Перепишем уравнение:

   Сначала мы можем переписать уравнение, чтобы выделить одну из тригонометрических функций. Например, выразим sin(x):

   sin(x) = 2cos(x) - 1

2. Используем тождество:

   Мы знаем, что sin(x) и cos(x) связаны между собой с помощью тригонометрического тождества:

   sin²(x) + cos²(x) = 1

   Подставим sin(x) из предыдущего шага в это тождество:

   (2cos(x) - 1)² + cos²(x) = 1

3. Раскроем скобки:

   Теперь раскрываем скобки:

   (4cos²(x) - 4cos(x) + 1) + cos²(x) = 1

4. Соберем подобные слагаемые:

   Соберем все слагаемые в одну сторону уравнения:

   4cos²(x) + cos²(x) - 4cos(x) + 1 - 1 = 0

   5cos²(x) - 4cos(x) = 0

5. Вынесем общий множитель:

   Теперь вынесем общий множитель:

   cos(x)(5cos(x) - 4) = 0

6. Решим каждое из уравнений:
   • Первое уравнение: cos(x) = 0
   • Второе уравнение: 5cos(x) - 4 = 0, откуда cos(x) = 4/5
7. Найдём корни:

   Для первого уравнения cos(x) = 0:

   x = π/2 + kπ, где k - целое число.

   Для второго уравнения cos(x) = 4/5:

   x = arccos(4/5) + 2kπ и x = -arccos(4/5) + 2kπ, где k - целое число.

Ответ: Уравнение 2cos(x) - sin(x) - 1 = 0 имеет решения:

x = π/2 + kπ и x = arccos(4/5) + 2kπ, x = -arccos(4/5) + 2kπ, где k - целое число.