Как решить уравнение 2sin^2x-5cosx+1=0?

Алгебра 10 класс Тригонометрические уравнения решить уравнение алгебра Тригонометрия синус косинус уравнение 2sin^2x-5cosx+1=0 Новый

Чтобы решить уравнение 2sin^2x - 5cosx + 1 = 0, сначала мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Напомним, что sin^2x = 1 - cos^2x. Это поможет нам выразить все в терминах косинуса.

Шаги решения:

1. Заменим sin^2x:

   Используя тождество sin^2x = 1 - cos^2x, подставим его в уравнение:

   2(1 - cos^2x) - 5cosx + 1 = 0

2. Упростим уравнение:

   Раскроем скобки:

   2 - 2cos^2x - 5cosx + 1 = 0

   Теперь объединим подобные члены:

   -2cos^2x - 5cosx + 3 = 0

3. Умножим на -1:

   Чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов, умножим все уравнение на -1:

   2cos^2x + 5cosx - 3 = 0

4. Решим квадратное уравнение:

   Теперь у нас есть квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где:

   • a = 2
   • b = 5
   • c = -3

   Используем дискриминант D = b^2 - 4ac:

   D = 5^2 - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49

   Так как D > 0, уравнение имеет два различных решения.

5. Найдём корни:

   Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

   cosx = (-b ± √D) / (2a)

   Подставим значения:

   cosx = (-5 ± √49) / (2 * 2)

   cosx = (-5 ± 7) / 4

   Теперь найдем два корня:

   • cosx = (2) / 4 = 0.5
   • cosx = (-12) / 4 = -3
6. Решим для cosx:

   Первый корень cosx = 0.5. Это значение соответствует углам:

   x = 60° + 360°k и x = 300° + 360°k, где k – любое целое число.

   Второй корень cosx = -3 не имеет решения, так как косинус не может принимать значения меньше -1.

Таким образом, окончательные решения уравнения 2sin^2x - 5cosx + 1 = 0:

x = 60° + 360°k и x = 300° + 360°k, где k – любое целое число.