Как решить уравнение: √3*sinx + cosx - 2 = 0?

Алгебра 10 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 10 класс тригонометрические функции квадратный корень синус и косинус уравнение с корнями математические уравнения Новый

Для решения уравнения √3*sinx + cosx - 2 = 0, начнем с того, что нам нужно выразить одну из тригонометрических функций через другую. Давайте сначала перенесем -2 на правую сторону уравнения:

√3*sinx + cosx = 2

Теперь мы можем выразить cosx через sinx. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

sin²x + cos²x = 1

Отсюда можно выразить cosx:

cosx = √(1 - sin²x)

Подставим это выражение в наше уравнение:

√3*sinx + √(1 - sin²x) = 2

Теперь обозначим sinx как t (где t = sinx). Тогда у нас получится следующее уравнение:

√3*t + √(1 - t²) = 2

Теперь мы можем изолировать корень:

√(1 - t²) = 2 - √3*t

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

1 - t² = (2 - √3*t)²

Раскроем скобки справа:

1 - t² = 4 - 4√3*t + 3t²

Теперь соберем все члены на одной стороне уравнения:

0 = 4 - 4√3*t + 3t² + t² - 1

0 = 4 - 1 - 4√3*t + 4t²

0 = 3 + 4t² - 4√3*t

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

4t² - 4√3*t + 3 = 0

Решим его с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-4√3)² - 4*4*3 = 48 - 48 = 0

Так как дискриминант равен нулю, у уравнения есть один корень:

t = (-b)/(2a) = (4√3)/(2*4) = √3/2

Теперь мы нашли значение sinx:

sinx = √3/2

Теперь найдем углы, для которых sinx = √3/2. Это происходит в следующих квадрантах:

• x = π/3 + 2kπ, где k - целое число (первый квадрант)
• x = 2π/3 + 2kπ, где k - целое число (второй квадрант)

Таким образом, общее решение уравнения √3*sinx + cosx - 2 = 0 будет:

x = π/3 + 2kπ и x = 2π/3 + 2kπ, где k - целое число.