Как решить уравнение: cos^2x - cos2x = 0,75 и найти все корни, которые находятся в промежутке [-2П; -П/2]?

Алгебра 10 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения cos^2x cos2x корни уравнения промежуток [-2П; -П/2] алгебра Тригонометрия уравнения с cos нахождение корней математический анализ Новый

Для решения уравнения cos^2x - cos2x = 0,75 начнем с преобразования выражения. Мы знаем, что cos2x можно выразить через cos^2x по формуле:

• cos2x = 2cos^2x - 1

Подставим это выражение в наше уравнение:

cos^2x - (2cos^2x - 1) = 0,75

Упростим уравнение:

• cos^2x - 2cos^2x + 1 = 0,75
• -cos^2x + 1 = 0,75
• -cos^2x = 0,75 - 1
• -cos^2x = -0,25
• cos^2x = 0,25

Теперь найдем cosx:

• cosx = ±sqrt(0,25)
• cosx = ±0,5

Теперь мы можем найти значения x, для которых cosx = 0,5 и cosx = -0,5.

Решения для cosx = 0,5:

• x = π/3 + 2kπ, k ∈ Z
• x = -π/3 + 2kπ, k ∈ Z

Решения для cosx = -0,5:

• x = 2π/3 + 2kπ, k ∈ Z
• x = -2π/3 + 2kπ, k ∈ Z

Теперь найдем все корни в промежутке [-2π; -π/2]. Подставим различные значения k:

• Для cosx = 0,5:
• x = -π/3 (при k = -1) - это значение не входит в указанный промежуток.
• x = -5π/3 (при k = -2) - это значение входит в промежуток.
• Для cosx = -0,5:
• x = -2π/3 (при k = -1) - это значение входит в промежуток.
• x = -8π/3 (при k = -2) - это значение не входит в указанный промежуток.

Таким образом, корни уравнения cos^2x - cos2x = 0,75, которые находятся в промежутке [-2π; -π/2], это:

• x = -5π/3
• x = -2π/3

В заключение, ответ на задачу: x = -5π/3 и x = -2π/3.