Как решить уравнение: cos4x * cos6x = sin6x * sin4x? Нужно найти значение корня в градусах, которое лежит в интервале от 18° до 35°.

Алгебра 10 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 10 класс cos4x cos6x sin6x sin4x корень уравнения интервал 18° 35° тригонометрические уравнения нахождение углов математические методы учебник алгебра Новый

Для решения уравнения cos(4x) * cos(6x) = sin(6x) * sin(4x) мы можем использовать тригонометрическую идентичность, которая связывает произведение косинусов с синусами:

Сначала вспомним формулу:

• cos(A) * cos(B) = 0.5 * (cos(A + B) + cos(A - B))
• sin(A) * sin(B) = 0.5 * (cos(A - B) - cos(A + B))

Мы можем преобразовать обе стороны уравнения, используя эти формулы:

Сначала преобразуем левую часть:

• cos(4x) * cos(6x) = 0.5 * (cos(4x + 6x) + cos(4x - 6x)) = 0.5 * (cos(10x) + cos(-2x)) = 0.5 * (cos(10x) + cos(2x))

Теперь преобразуем правую часть:

• sin(6x) * sin(4x) = 0.5 * (cos(4x - 6x) - cos(4x + 6x)) = 0.5 * (cos(-2x) - cos(10x)) = 0.5 * (cos(2x) - cos(10x))

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

• 0.5 * (cos(10x) + cos(2x)) = 0.5 * (cos(2x) - cos(10x))

Умножим обе стороны на 2:

• cos(10x) + cos(2x) = cos(2x) - cos(10x)

Теперь соберем все косинусы в одной части уравнения:

• cos(10x) + cos(10x) = cos(2x) - cos(2x)
• 2 * cos(10x) = 0

Это уравнение означает, что:

• cos(10x) = 0

Косинус равен нулю, когда:

• 10x = 90° + k * 180° (где k - целое число)

Теперь решим это уравнение:

• x = (90° + k * 180°) / 10

Теперь подставим разные значения для k, чтобы найти x в интервале от 18° до 35°:

• Для k = 0: x = 90° / 10 = 9° (не подходит)
• Для k = 1: x = (90° + 180°) / 10 = 270° / 10 = 27° (подходит)
• Для k = 2: x = (90° + 360°) / 10 = 450° / 10 = 45° (не подходит)

Таким образом, единственный корень, который лежит в интервале от 18° до 35°:

x = 27°