Как решить уравнение: sin^2x + 2√3 sinx + 3cos^2x = 0?

Алгебра 10 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 10 класс тригонометрические функции sin cos уравнение математические задачи уравнения с синусом алгебраические уравнения Новый

Для решения уравнения sin^2x + 2√3 sinx + 3cos^2x = 0, начнем с того, что мы можем выразить cos^2x через sin^2x, используя основное тригонометрическое тождество:

cos^2x = 1 - sin^2x.

Теперь подставим это выражение в уравнение:

sin^2x + 2√3 sinx + 3(1 - sin^2x) = 0.

Раскроем скобки:

sin^2x + 2√3 sinx + 3 - 3sin^2x = 0.

Теперь соберем подобные слагаемые:

(1 - 3)sin^2x + 2√3 sinx + 3 = 0.

Это упрощается до:

-2sin^2x + 2√3 sinx + 3 = 0.

Умножим все уравнение на -1 для удобства:

2sin^2x - 2√3 sinx - 3 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно sinx. Для этого используем формулу корней квадратного уравнения:

ax^2 + bx + c = 0, где a = 2, b = -2√3, c = -3.

Корни находятся по формуле:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a.

• Сначала находим дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-2√3)^2 - 4 * 2 * (-3) = 12 + 24 = 36.

• Теперь находим корни:

sinx = (2√3 ± √36) / (2 * 2) = (2√3 ± 6) / 4.

• Рассмотрим два случая:

1. sinx = (2√3 + 6) / 4 = (√3 + 3/2).

2. sinx = (2√3 - 6) / 4 = (√3 - 3/2).

Теперь нужно определить, какие из этих значений находятся в пределах допустимых значений для функции sin (от -1 до 1).

1. Для первого корня: (√3 + 3/2) > 1, так как √3 ≈ 1.73, следовательно, этот корень не подходит.

2. Для второго корня: (√3 - 3/2) < -1, следовательно, этот корень также не подходит.

Таким образом, у уравнения нет действительных решений.

В заключение, у уравнения sin^2x + 2√3 sinx + 3cos^2x = 0 нет решений в пределах от -1 до 1 для sinx.