Какое значение имеет корень уравнения 3 sin(x) + 4 cos(x) = 5?

Алгебра 10 класс Тригонометрические уравнения корень уравнения алгебра 10 класс 3 sin(x) + 4 cos(x) = 5 решение тригонометрического уравнения значения синуса и косинуса Новый

Чтобы решить уравнение 3 sin(x) + 4 cos(x) = 5, давайте следовать пошагово.

Шаг 1: Преобразуем уравнение.

Сначала заметим, что у нас есть линейная комбинация синуса и косинуса. Мы можем представить это уравнение в виде:

R sin(x + φ) = 5,

где R = √(a² + b²) и φ - угол, который мы найдем с помощью a и b, где a = 3 и b = 4.

Шаг 2: Находим R.

• R = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Шаг 3: Находим угол φ.

• tan(φ) = b/a = 4/3.
• φ = arctan(4/3).

Шаг 4: Подставляем в уравнение.

Теперь мы можем переписать уравнение:

5 sin(x + φ) = 5.

Делим обе стороны на 5:

sin(x + φ) = 1.

Шаг 5: Находим x + φ.

Значение синуса равно 1, когда:

x + φ = π/2 + 2kπ, где k - любое целое число.

Шаг 6: Изолируем x.

Теперь выразим x:

x = π/2 - φ + 2kπ.

Шаг 7: Подставляем значение φ.

Помним, что φ = arctan(4/3). Таким образом, окончательное решение будет:

x = π/2 - arctan(4/3) + 2kπ.

Шаг 8: Находим конкретное значение.

Если мы хотим найти конкретное значение, можем взять k = 0:

x = π/2 - arctan(4/3).

Таким образом, корень уравнения 3 sin(x) + 4 cos(x) = 5 равен:

x = π/2 - arctan(4/3) + 2kπ, где k - любое целое число.