Какова функция f(x), заданная следующим образом: {(x-4)^2, если x меньше 5; 5/x, если x больше или равно 5}? Укажите точки для построения обоих графиков и найдите, при каких значениях прямая y=p имеет с графиком ровно 2 общие точки.

Алгебра 10 класс Графики функций и их пересечения функция f(x) алгебра графики точки пересечения прямая y=p общие точки анализ функции построение графиков Новый

Функция f(x) задана кусочно:

• f(x) = (x - 4)^2, если x < 5;
• f(x) = 5/x, если x >= 5.

Теперь давайте построим графики обеих частей функции и найдем точки для их построения.

1. График функции f(x) = (x - 4)^2 (x < 5):

Это парабола, направленная вверх. Для построения графика выберем несколько значений x:

• Если x = 0, то f(0) = (0 - 4)^2 = 16;
• Если x = 1, то f(1) = (1 - 4)^2 = 9;
• Если x = 2, то f(2) = (2 - 4)^2 = 4;
• Если x = 3, то f(3) = (3 - 4)^2 = 1;
• Если x = 4, то f(4) = (4 - 4)^2 = 0;

Таким образом, точки для построения графика этой части: (0, 16), (1, 9), (2, 4), (3, 1), (4, 0).

2. График функции f(x) = 5/x (x >= 5):

Это гипербола. Для построения графика также выберем несколько значений x:

• Если x = 5, то f(5) = 5/5 = 1;
• Если x = 6, то f(6) = 5/6 ≈ 0.83;
• Если x = 7, то f(7) = 5/7 ≈ 0.71;
• Если x = 10, то f(10) = 5/10 = 0.5;

Таким образом, точки для построения графика этой части: (5, 1), (6, 0.83), (7, 0.71), (10, 0.5).

Теперь найдем значения p, при которых прямая y = p имеет ровно 2 общие точки с графиком функции:

Для этого рассмотрим оба случая:

1. Прямая y = p пересекает график f(x) = (x - 4)^2:

Парабола имеет минимум в точке (4, 0). Значения p, которые будут иметь 2 пересечения с этой частью графика, должны быть больше 0 и меньше максимального значения, которое парабола достигает при x = 5:

• Максимальное значение при x = 5: f(5) = (5 - 4)^2 = 1.

Таким образом, для этой части p должно быть в интервале (0, 1).

2. Прямая y = p пересекает график f(x) = 5/x:

Гипербола убывает, и пересечет прямую y = p в двух точках, если p > 0. Так как f(x) стремится к нулю, когда x стремится к бесконечности, то для этой части p может быть любое положительное значение.

Объединяя оба условия:

Прямая y = p будет иметь ровно 2 общие точки с графиком функции f(x) при:

• 0 < p < 1.

Таким образом, для функции f(x) прямая y = p имеет ровно 2 общие точки, если p находится в интервале (0, 1).