Какова область определения функции (D(f)-?) для функции f(x)=x^3-3x^2? Также, как определить четность и нечетность этой функции и найти ее нули? Необходимо построить график функции.

Алгебра 10 класс Функции и их графики область определения функции четность функции нечетность функции нули функции график функции f(x)=x^3-3x^2 алгебра 10 класс Новый

Давайте по порядку разберем все вопросы, касающиеся функции f(x) = x^3 - 3x^2.

1. Область определения функции (D(f)):

Область определения функции — это множество значений переменной x, для которых функция f(x) определена. В данном случае f(x) = x^3 - 3x^2 — это многочлен, и многочлены определены для всех действительных чисел. Таким образом, область определения этой функции:

• D(f) = R (все действительные числа).

2. Четность и нечетность функции:

Чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, нужно проверить следующие условия:

• Функция четная, если f(-x) = f(x) для всех x.
• Функция нечетная, если f(-x) = -f(x) для всех x.

Теперь вычислим f(-x):

• f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 = -x^3 - 3x^2.

Теперь сравним:

• f(-x) = -x^3 - 3x^2
• -f(x) = -(x^3 - 3x^2) = -x^3 + 3x^2.

Как видно, f(-x) не равно f(x) и не равно -f(x), следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Нули функции:

Нули функции — это такие значения x, для которых f(x) = 0. Нам нужно решить уравнение:

• x^3 - 3x^2 = 0.

Мы можем вынести общий множитель:

• x^2(x - 3) = 0.

Теперь у нас есть произведение, равное нулю. Это означает, что один из множителей равен нулю:

• x^2 = 0 → x = 0
• x - 3 = 0 → x = 3.

Таким образом, нули функции: x = 0 и x = 3.

4. Построение графика функции:

Для построения графика функции f(x) = x^3 - 3x^2, мы можем использовать найденные нули и исследовать поведение функции на интервалах:

• f(0) = 0 (нулевая точка).
• f(3) = 0 (нулевая точка).

Теперь проверим значения функции на интервалах:

• Для x < 0, например, f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 = -1 - 3 = -4 (значение отрицательное).
• Для 0 < x < 3, например, f(1) = 1 - 3 = -2 (значение отрицательное).
• Для x > 3, например, f(4) = 64 - 48 = 16 (значение положительное).

На основании этих значений мы можем построить график, который будет пересекаться с осью x в точках 0 и 3, а также будет иметь соответствующее поведение в указанных интервалах.

График будет иметь форму, характерную для кубической функции, с "пиком" между нулями и "падением" при x < 0.